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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x}{e^{x}-1} \] 1) Dominio: \[ e^{x}-1\neq0\rightarrow e^{x}\neq1\rightarrow x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=0 \end{array}\right.\rightarrow x=0\:\notin D\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num>0\rightarrow x>0\\ Den>0\rightarrow e^{x}>1\rightarrow x>0 \end{array}\right. \] \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0^{+} \] y=0 è un asintoto orizzontale per x che tende a + infinito. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\left[\frac{-\infty}{-1}\right]=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\frac{1}{-1}=-1 \] \[ q=\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)-mx=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{e^{x}-1}+x=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{xe^{x}}{e^{x}-1} \] \[ q=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{xe^{x}}{e^{x}\left(1-e^{-x}\right)}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{1-e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{e^{-x}}=0 \] La retta y=-x è un asintoto obliquo per x che tende a – infinito. \[ \lim_{x\rightarrow0^{\pm}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{1}{e^{x}}=1^{\mp} \] 6) Derivate: \[ f’\left(x\right)=\frac{e^{x}-1-xe^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}=\frac{e^{x}\left(1-x\right)-1}{\left(e^{x}-1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow e^{x}\left(1-x\right)-1\geq0\rightarrow e^{x}\left(1-x\right)\geq1\rightarrow1-x\geq e^{-x} \] Per via grafica:

\[ f’\left(x\right)<0\:\forall x\in D \] Quindi la curva è decrescente.

Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=\frac{\left[e^{x}-\left(e^{x}+xe^{x}\right)\right]\left(e^{x}-1\right)^{2}-2e^{x}\left(e^{x}-1\right)\left(e^{x}-xe^{x}-1\right)}{\left(e^{x}-1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{e^{x}\left(e^{x}-1\right)\left(xe^{x}-2e^{x}+x+2\right)}{\left(e^{x}-1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow\left(e^{x}-1\right)\left(xe^{x}-2e^{x}+x+2\right)\geq0 \] \[ F_{1}\geq0\rightarrow e^{x}-1\geq0\rightarrow e^{x}\geq1\rightarrow x\geq0 \] \[ F_{2}\geq0\rightarrow xe^{x}-2e^{x}+x+2\geq0\rightarrow e^{x}\left(x-2\right)\geq-x-2 \] Per via grafica:

\[ F_{2}\geq0\rightarrow x\geq0 \] e si ha quindi: \[ f”\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] La funzione è sempre convessa.

 

 

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