Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende all’infinito:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{1-x}=+\infty \] La funzione è definita per \[ x\leq1 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \sqrt{1-x}>M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di meno infinito.

Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \sqrt{1-x}>M \] \[ 1-x>M^{2} \] \[ x<1-M^{2} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;1-M^{2}\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di meno infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+e^{2x}\right)=+\infty \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ 1+e^{2x}>M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di + infinito.

Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ 1+e^{2x}>M \] \[ e^{2x}>M-1 \] \[ 2x>\ln\left(M-1\right) \] \[ x>\frac{\ln\left(M-1\right)}{2} \] Otteniamo quindi \[ \left(\frac{\ln\left(M-1\right)}{2};+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di +infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\ln\frac{1}{1+x^{2}}=-\infty \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \ln\frac{1}{1+x^{2}}<-M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di infinito.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \ln\frac{1}{1+x^{2}}<-M \] \[ \frac{1}{1+x^{2}}e^{M} \] \[ x^{2}>e^{M}-1 \] \[ x<-\sqrt{e^{M}-1}\;\vee\; x>\sqrt{e^{M}-1} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;-\sqrt{e^{M}-1}\right)\cup\left(\sqrt{e^{M}-1};+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\ln\left(2+x^{2}\right)=+\infty \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \ln\left(2+x^{2}\right)>M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di infinito.

Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \ln\left(2+x^{2}\right)>M \] \[ 2+x^{2}>e^{M} \] \[ x^{2}>e^{M}-2 \] \[ x<-\sqrt{e^{M}-2}\;\vee\; x>\sqrt{e^{M}-2} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;-\sqrt{e^{M}-2}\right)\cup\left(\sqrt{e^{M}-2};+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di infinito possiamo affermare che il limite è verificato.