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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1-\left|x\right|}{1+\left|x\right|}} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:
Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \] 1) Dominio: \[ \frac{1-\left|x\right|}{1+\left|x\right|}\geq0 \] \[ Num\geq0\rightarrow1-\left|x\right|\geq0\rightarrow\left|x\right|\leq1\rightarrow x\in\left[-1;+1\right] \] \[ Den>0\rightarrow1+\left|x\right|>0\rightarrow\left|x\right|>-1\;\forall x\in\mathbb{R} \] \[ D=\left[-1;+1\right] \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt{\frac{1-\left|-x\right|}{1+\left|-x\right|}}=\sqrt{\frac{1-\left|x\right|}{1+\left|x\right|}}=f\left(x\right) \] f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare solo per x>0. Per x<0 la curva sarà simmetrica rispetto all’asse y.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=1 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;1\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ 1-\left|x\right|=0 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \left|x\right|=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\pm1 \end{array}\right.\rightarrow\left(\pm1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\;\forall x\in D \] 5) Limiti:
La funzione è continua nell’intervallo chiuso -1;1 , quindi non ci sono limiti da calcolare.

6) Derivate:
Ricordandoci di studiare la funzione solo per x>0: \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\cdot\frac{-\left(1+x\right)-\left(1-x\right)}{\left(1+x\right)^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\cdot\frac{-1-x-1+x}{\left(1+x\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=-\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\cdot\frac{1}{\left(1+x\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)<0\;\forall x\in\left[0;1\right) \] quindi f'(x) è negativa nell’intervallo (0;1), di conseguenza in questo intervallo f(x) è decrescente.
Notiamo che: \[ f’\left(0\right)=-1 \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f’\left(x\right)=+1 \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f’\left(x\right)\neq f’\left(0\right) \] quindi (0;1) è un punto angoloso.
Notiamo anche che: \[ \lim_{x\rightarrow1^{-}}f’\left(x\right)=-\infty \] di conseguenza la funzione in (1;0) ha tangente x=1, e per simmetria in (-1;0) ha tangente x=-1.

Derivata seconda:

Ricordandoci di studiare la funzione solo per x>0: \[ f’\left(x\right)=-\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\cdot\frac{1}{\left(1+x\right)^{2}} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\cdot\frac{\left(1-x\right)+\left(1+x\right)}{\left(1-x\right)^{2}}\cdot\frac{1}{\left(1+x\right)^{2}}-\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\cdot\left(-\frac{2}{\left(1+x\right)^{3}}\right) \] \[ f”\left(x\right)=-\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\cdot\frac{1}{\left(1-x\right)^{2}\left(1+x\right)^{2}}+\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\cdot\frac{2}{\left(1+x\right)^{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{1}{\left(1+x\right)^{2}}\cdot\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\cdot\left(\frac{2}{1+x}-\frac{1}{\left(1-x\right)^{2}}\cdot\frac{1-x}{1+x}\right) \] \[ f”\left(x\right)=\frac{1}{\left(1+x\right)^{2}}\cdot\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\cdot\frac{2\left(1+x^{2}-2x\right)-1+x}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)^{2}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{1}{\left(1+x\right)^{2}}\cdot\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\cdot\frac{2x^{2}-3x+1}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)^{2}} \] facendo i conti, sempre per x positive appartenenti al dominio: \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow2x^{2}-3x+1\geq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\in\left(0;+\frac{1}{2}\right] \] quindi tra 0 e 1/2 la funzione risulta convessa, tra 1/2 e 1 risulta concava. Per x=1/2 la derivata seconda si annulla, quindi avremo un punto di flesso F. Per simmetria avremo un punto di flesso anche in -1/2: \[ F_{1}\left(-\frac{1}{2};+\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \] \[ F_{2}\left(+\frac{1}{2};+\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \]

 

 

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