Testo

Viene assegnato il settore circolare AOB di raggio r e ampiezza x (r e x sono misurati, rispettivamente, in metri e radianti).

1. Si provi che l’area S compresa fra l’arco e la corda AB è espressa, in funzione di x, da \[ S\left(x\right)=\frac{1}{2}r^{2}\left(x-\sin x\right)\; x\epsilon\left[0,2\pi\right] \] 2. Posto r = 1, si studi come varia S e se ne disegni il grafico.

3. Si fissi l’area del settore AOB pari a 100 metri quadri. Si trovi il valore di r per il quale è minimo il perimetro di AOB e si esprima il corrispondente valore di x in gradi sessagesimali (è sufficiente l’approssimazione al grado).

4. Sia \[ r=2;\, x=\frac{\pi}{3} \] Il settore AOB è la base di un solido W le cui sezioni ottenute con piani ortogonali ad OB sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di W.

Soluzione

Pongo OA = OB = r, l’area del segmento circolare S è vista come differenza tra l’area del settore circolare AOB e l’area del triangolo AOB.

Essendo l’area A di un settore espressa da raggio del settore ed ampiezza dell’angolo d’apertura: \[ A=\frac{1}{2}\alpha r^{2} \] \[ S=\frac{1}{2}OB^{2}x-\frac{1}{2}OB\cdot OA\cdot\sin x=\frac{1}{2}rx^{2}-\frac{1}{2}r^{2}\sin x=\frac{1}{2}r^{2}\left(x-\sin x\right) \] Quest’ultima espressione si dimostra valida per tutto l’intervallo di x che è richiesto in quanto per valori compresi tra pigreco e due pigreco l’espressione che esprime l’area AOB. \[ A_{AOB}=\frac{1}{2}OB\cdot OA\cdot\sin x=\frac{1}{2}r^{2}\sin x

2. Posto r = 1 devo studiare la seguente funzione: \[ S\left(x\right)=\frac{1}{2}r^{2}\left(x-\sin x\right)\: x\epsilon\left[0,2\pi\right] \] Per quanto si osserva nel punto precedente nel caso di un angolo x concavo la funzione dev’essere sempre positiva, mentre la funzione si annulla per x = 0. La funzione è continua per tutto l’intervallo e agli estremi assume i seguenti valori: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}S\left(x\right)=0 \] \[ \lim_{x\rightarrow2\pi^{-}}S\left(x\right)=\pi \] Inoltre di questo grafico si può dire che interseca la retta d’equazione: \[ y=\frac{1}{2}x \] nei punti \[ x=0,\: x=\pi,\: x=2\pi \] Studiando poi la disequazione qui sotto si puà dimostrare come, per x compreso nella prima metà dell’intervallo, il grafico stia sotto la retta; mentre per lo stesso studio si può notare come la funzione stia sopra la retta per la seconda metà dell’intervallo di variazione di x. Studiandone ora la derivata prima: \[ S’\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(1-\cos x\right)\geq0\Rightarrow\cos x\leq1 \] si può vedere come la funzione sia strettamentecrescente in tutto l’intervallo studiato, con derivata nulla agli estremi. Infine lo studio del segno della derivata seconda: \[ S”\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin x \] ci porta a dire che la funzione S” è positiva per la prima metà dell’intervallo, mentre è negativa per la seconda metà. Il grafico che ne esce da tutta l’analisi è il seguente:

3. Fissata l’area del settore AOB, trovo il suo perimetro mattendo le due equazioni a sistema: \[ A\left(AOB\right)=100m^{2}=a=\frac{1}{2}rx^{2}\\ 2P\left(AOB\right)=OA+OB+AB=2r+rx \] Da questo ricavo che: \[ x=\frac{2a}{r^{2}} \] Quindi: \[ 2P\left(AOB\right)=2r+r\left(\frac{2a}{r^{2}}\right)=2\left(r+\frac{a}{r}\right) \] Passando allo studio del segno della derivata prima della funzione perimetro, si nota, tenendo conto delle limitazioni date dal valore di a, come questa ha un minimo assoluto per r = 10m (dove x = 2 rad pari cioè a 114 gradi circa).

4. Posto \[ r=2;\, x=\frac{\pi}{3} \] pongo un sistema cartesiano con origine coincidente con O e asse delle x che contiene il segmento OB. Dato questo sistema di riferimento l’angolo AOB sarà: \[ AOB=x=\frac{\pi}{3} \] e le coordinate di A e di B saranno: \[ A\left(2\cos\frac{\pi}{3},2\sin\frac{\pi}{3}\right)=\left(1,\sqrt{3}\right) \] \[ B\left(2,0\right) \] Mentre il segmento OA avrà questa equazione: \[ OA:y=x\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}x \] Il solido W avente come base il settore circolare si pu`o dividere in due parti (W1, W2) con un piano passante per il punto A e perpendicolare all’asse x. Se P è un punto del segmento OA le sue coordinate sono: \[ P\left(x,\sqrt{3}x\right) \] e l’area di una sezione di W passante per P quandox è compreso tra 0 e 1 è data dall’integrale definito: \[ A1\left(x\right)=\left(y_{P}\right)^{2}=\left(\sqrt{3}x\right)^{2}=3x^{2} \] Il volume della prima parte di W, W1 si trova sfruttando l’integrale dell’area delle sue sezioni parallele in funzione di una variabile x: \[ W1=\int_{0}^{1}A_{1}\left(x\right)dx=\int_{0}^{1}3x^{2}dx=3\int_{0}^{1}x^{2}dx=3\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1 \] Per ottenereil volume della seconda parte occorre l’ordinata di un punto qualsiasi R appartenente all’arco AB. Scritta pertanto l’equazione della circonferenza di centro O e raggio r = 2, cioè: \[ x^{2}+y^{2}=4\rightarrow y=\sqrt{4-x^{2}} \] La precedente funzione ha validità per x compreso tra 1 e 2, così da ottenere un volume di W2 pari a: \[ W2=\int_{1}^{2}A_{2}\left(x\right)dx=\int_{1}^{2}\left(4-x^{2}\right)dx=\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=8-\frac{8}{3}-4+\frac{1}{3}=\frac{5}{3} \] \[ W=W1+W2=1+\frac{5}{3}=\frac{8}{3} \]