TestoCon l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione \[ \sin x=0 \] con punto iniziale pari a 3. Cosa si ottiene dopo due iterazioni?Soluzione Il procedimento di Newton consiste nell’applicare la formula seguente per trovare una successione di punti x: \[ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f’\left(x_{n}\right)} \] partendo dal punto 3 ottengo dopo due […]
Testo Una moneta da 2 euro, il cui diametro è di 25,75 mm, viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella (cioè che non tagli i lati dei quadrati)? Soluzione Visto che il pavimento è ricoperto […]
Testo Si trovi la funzione f(x) la cui derivata è sen x e il cui grafico passa per il punto (0,2). Soluzione L’insieme delle funzioni primitive che soddisfa alla condizione \[ f’\left(x\right)=\sin x \] è dato dall’integrale indefinito \[ \int\sin xdx=-\cos x+C \] Per determinare la costante di integrazione C – ossia per individuare la […]
Testo Si provi che l’equazione: \[ x^{2009}+2009x+1=0 \] ha una sola radice compresa tra -1 e 0. Soluzione La funzione \[ f\left(x\right):x^{2009}+2009x+1 \] è definita in tutto l’insieme dei numeri reali ed è tale che agli estremi dell’intervallo date assume valori di segno opposto: \[ f\left(-1\right)=\left(-1\right)^{2009}-2009+1=-1-2009+1=-20090 \] Inoltre, poichè la funzione in studio è la […]
Testo “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta. Soluzione L’affermazione riportata nel testo è chiaramente falsa in quanto la somma degli angoli uscenti da uno stesso vertice delle tre possibili facce sarebbe pari a 360 […]
Testo Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l’età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne? Soluzione Indico con u il numero di uomini e con e l’età di […]
Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2009 per il liceo scientifico – indirizzo PNI. Traccia della seconda prova – Scientifico PNI 2009Problema 1 – Scientifico PNI 2009 (testo e soluzione)Problema 2 – Scientifico PNI 2009 (testo e soluzione)Quesito 1 – Scientifico PNI 2009 (testo e soluzione)Quesito 2 – Scientifico PNI 2009 […]
Testo Viene assegnato il settore circolare AOB di raggio r e ampiezza x (r e x sono misurati, rispettivamente, in metri e radianti). 1. Si provi che l’area S compresa fra l’arco e la corda AB è espressa, in funzione di x, da \[ S\left(x\right)=\frac{1}{2}r^{2}\left(x-\sin x\right)\; x\epsilon\left[0,2\pi\right] \] 2. Posto r = 1, si studi […]
Testo Sono dati gli insiemi \[ A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \] \[ B=\left\{ a,b,c\right\} \] Tra le possibili applicazioni – o funzioni – di A in B, ce ne sono di suriettive? E di iniettive? E di biiettive? Soluzione Dato che la cardinalità di A è 4 – cioè l’insieme A ha 4 elementi distinti- e B […]
Testo Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”, Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri , che la scodella ha […]