TestoCon l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione \[ \sin x=0 \] con punto iniziale pari a 3. Cosa si ottiene dopo due iterazioni?Soluzione Il procedimento di Newton consiste nell’applicare la formula seguente per trovare una successione di punti x: \[ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f’\left(x_{n}\right)} \] partendo dal punto 3 ottengo dopo due […]
Testo Si dimostri la seguente: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k+1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)\frac{n-k}{n+1} \] con n e k numeri naturali e n > k. Soluzione Per definizione di coefficiente binomiale, si ha che il primo termine dell’uguaglianza è: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k+1 \end{array}\right)=\frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!} \] Il secondo termine invece si può scrivere come: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ […]
Testo Sia f la funzione definita da \[ f\left(x\right)=\left(1+x+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{2}}{n!}\right)e^{-x} \] dove n è un intero positivo e x appartiene all’insieme dei numeri reali. 1) Si verifichi che la derivata di f(x) è \[ f^{‘}\left(x\right)=-\frac{x^{2}}{n!}e^{-x} \] 2) Si dica se la funzione f ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando n […]
Testo “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta. Soluzione L’affermazione riportata nel testo è chiaramente falsa in quanto la somma degli angoli uscenti da uno stesso vertice delle tre possibili facce sarebbe pari a 360 […]
Testo Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si tracci il grafico Gf della funzione f(x) logaritmo naturale. 1. Sia A il punto d’intersezione con l’asse y della tangente a G in un suo punto P. Sia B il punto d’intersezione con l’asse y della parallela per P all’asse x. Si dimostri che, […]
Testo Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”, Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri , che la scodella ha […]
Testo Sono dati gli insiemi \[ A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \] \[ B=\left\{ a,b,c\right\} \] Tra le possibili applicazioni – o funzioni – di A in B, ce ne sono di suriettive? E di iniettive? E di biiettive? Soluzione Dato che la cardinalità di A è 4 – cioè l’insieme A ha 4 elementi distinti- e B […]
Testo Si considerino le seguenti espressioni: \[ \frac{0}{1};\frac{0}{0};\frac{1}{0};0^{0} \] A quali di esse si può attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta. Soluzione Posto \[ \alpha=\frac{0}{1} \] la definizione di quoziente implica che debba rappresentare quel numero tale che sia \[ \alpha\cdot1=0\rightarrow\alpha=0 \] e questa uguaglianza è soddisfatta unicamente da 0. La prima scrittura […]
Testo In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, si consideri la funzione (con k parametro reale) \[ f\left(x\right)=x^{3}+kx \] 1. Si dica come varia il grafico di f al variare di k (k positivo, negativo o nullo). 2. Sia \[ g\left(x\right)=x^{3} \] e G il suo grafico. Si dimostri che G e la retta […]