Testo

Si provi che l’equazione: \[ x^{2009}+2009x+1=0 \] ha una sola radice compresa tra -1 e 0.

Soluzione

La funzione \[ f\left(x\right):x^{2009}+2009x+1 \] è definita in tutto l’insieme dei numeri reali ed è tale che agli estremi dell’intervallo date assume valori di segno opposto: \[ f\left(-1\right)=\left(-1\right)^{2009}-2009+1=-1-2009+1=-20090 \] Inoltre, poichè la funzione in studio è la somma di tutte funzioni continue nell’insieme dei numeri reali, posso dire che la funzione stessa è continua e quindi che sono soddisfatte tutte le condizioni del teorema degli zeri. Il teorema ci afferma che esiste almeno una soluzione all’equazione: \[ f\left(x\right)=0 \] Studiando poi il segno della derivata prima della funzione vediamo che questa è sempre positiva nell’intervallo tra -1 e 0 e questo ci suggerisce che la funzione in questo intervallo è sempre crescente e, al tempo stesso, ci conferma l’unicità della soluzione trovata.