Testo

Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”, Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto.
La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri , che la scodella ha volume pari al cono di vertice V in figura.

Soluzione

Si nota prima di tutto che il cilindro ha un’altezza r pari al raggio di base e difatti VO = VC.
Il principio di Cavalieri stabilisce l’equivalenza tra due solidi (cioè l’uguaglianza dei volumi) nell’ipotesi che le sezioni determinate da una famiglia di piani paralleli in ciascun solido siano equivalenti, cioè abbiano la medesima area. Siavh quindi VH = h la distanza dal vertice V di un piano parallelo alla base comune del cilindro o del cono. In tal modo la sezione del cono è un cerchio di raggio HR pari a VH = h, in quanto i due triangoli VOB e VHR sono entrambi triangoli rettangoli isosceli. l’area d questa sezione è: \[ \pi h^{2} \]

La sezione della scodella è invece una corona circolare di raggio esterno HE = r mentre il raggio interno è HF pari a: \[ HF^{2}=VF^{2}-VH^{2}=r^{2}-h^{2} \] L’area della corona è quindi: \[ A_{corona}=\pi r^{2}-\pi\left(r^{2}-h^{2}\right)=\pi h^{2}=A_{cerchio} \] che coincide con quanto ho già trovato per la sezione del cono: per il principio di Cavalieri è verificata quindi l’equivalenza dei solidi e l’uguaglianza dei volumi.