Testo Si calcoli il seguente: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x} \] Soluzione Il limite dato ricade in una forma di indeterminazione del tipo \[ \frac{\infty}{\infty} \] cerco quindi di scrivere la funzione ad argomento del limite fattorizzando uno dei termini sotto la radice: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{|x|}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \] Posso togliere il valore assoluto considerando che il limite è per valori […]

Testo Siano 0 < a < b e x appartenente all’intervallo compreso tra b e -b. Si provi che: \[ \int_{-b}^{b}|x-a|\cdot dx=a^{2}+b^{2} \] Soluzione Divido la funzione integranda in questo modo: \[ \left\{ \begin{array}{c} x-a\rightarrow se\; x-a\geq0\\ a-x\rightarrow se\; x-a\leq0 \end{array}\right. \] Così l’integrale si spezza in due contributi: \[ \int_{-b}^{b}|x-a|\cdot dx=\int_{-b}^{a}-\left(x-a\right)dx+\int_{a}^{b}\left(x-a\right)dx= \] \[ =\left[\left(\frac{a^{2}}{2}-a^{2}\right)+\left(\frac{b^{2}}{2}-ab\right)\right]+\left[\left(\frac{b^{2}}{2}-ab\right)+\left(\frac{a^{2}}{2}-a^{2}\right)\right]= […]

Testo Si dimostri la seguente: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k+1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)\frac{n-k}{n+1} \] con n e k numeri naturali e n > k. Soluzione Per definizione di coefficiente binomiale, si ha che il primo termine dell’uguaglianza è: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k+1 \end{array}\right)=\frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!} \] Il secondo termine invece si può scrivere come: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ […]

Testo Si trovi la funzione f(x) la cui derivata è sen x e il cui grafico passa per il punto (0,2). Soluzione L’insieme delle funzioni primitive che soddisfa alla condizione \[ f’\left(x\right)=\sin x \] è dato dall’integrale indefinito \[ \int\sin xdx=-\cos x+C \] Per determinare la costante di integrazione C – ossia per individuare la […]

Testo Si provi che l’equazione: \[ x^{2009}+2009x+1=0 \] ha una sola radice compresa tra -1 e 0. Soluzione La funzione \[ f\left(x\right):x^{2009}+2009x+1 \] è definita in tutto l’insieme dei numeri reali ed è tale che agli estremi dell’intervallo date assume valori di segno opposto: \[ f\left(-1\right)=\left(-1\right)^{2009}-2009+1=-1-2009+1=-20090 \] Inoltre, poichè la funzione in studio è la […]

Testo “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta. Soluzione L’affermazione riportata nel testo è chiaramente falsa in quanto la somma degli angoli uscenti da uno stesso vertice delle tre possibili facce sarebbe pari a 360 […]

Testo Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l’età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne? Soluzione Indico con u il numero di uomini e con e l’età di […]

Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2009 per il liceo scientifico – indirizzo PNI. Traccia della seconda prova – Scientifico PNI 2009Problema 1 – Scientifico PNI 2009 (testo e soluzione)Problema 2 – Scientifico PNI 2009 (testo e soluzione)Quesito 1 – Scientifico PNI 2009 (testo e soluzione)Quesito 2 – Scientifico PNI 2009 […]