Testo Si considerino le seguenti espressioni: \[ \frac{0}{1};\frac{0}{0};\frac{1}{0};0^{0} \] A quali di esse si può attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta. Soluzione Posto \[ \alpha=\frac{0}{1} \] la definizione di quoziente implica che debba rappresentare quel numero tale che sia \[ \alpha\cdot1=0\rightarrow\alpha=0 \] e questa uguaglianza è soddisfatta unicamente da 0. La prima scrittura […]

Testo “Se due punti P e Q del piano giacciono dalla stessa parte rispetto ad una retta AB e gli angoli PAB e QBA hanno somma minore di 180 gradi, allora le semirette AP e BQ, prolungate adeguatamente al di là dei punti P e Q, si devono intersecare”. Questa proposizione è stata per secoli […]

Testo “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta. Soluzione L’affermazione riportata nel testo è chiaramente falsa in quanto la somma degli angoli uscenti da uno stesso vertice delle tre possibili facce sarebbe pari a 360 […]

Testo Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l’età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne? Soluzione Indico con u il numero di uomini e con e l’età di […]

Testo Per quale o quali valori di k la curva d’equazione \[ y=x^{3}+kx^{2}+3x-4 \] ha una sola tangente orizzontale? Soluzione La curva di equazione \[ y=x^{3}+kx^{2}+3x-4 \] è un famiglia di cubiche che rappresenta delle funzioni continue e derivabili in tutto l’insieme dei numeri reali, la cui derivata prima è: \[ y’=3x^{2}+2kx+3 \] e la […]

Testo Sono dati gli insiemi \[ A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \] \[ B=\left\{ a,b,c\right\} \] Tra le possibili applicazioni – o funzioni – di A in B, ce ne sono di suriettive? E di iniettive? E di biiettive? Soluzione Dato che la cardinalità di A è 4 – cioè l’insieme A ha 4 elementi distinti- e B […]

Testo Siano 0 < a < b e x appartenente all’intervallo compreso tra b e -b. Si provi che: \[ \int_{-b}^{b}|x-a|\cdot dx=a^{2}+b^{2} \] Soluzione Divido la funzione integranda in questo modo: \[ \left\{ \begin{array}{c} x-a\rightarrow se\; x-a\geq0\\ a-x\rightarrow se\; x-a\leq0 \end{array}\right. \] Così l’integrale si spezza in due contributi: \[ \int_{-b}^{b}|x-a|\cdot dx=\int_{-b}^{a}-\left(x-a\right)dx+\int_{a}^{b}\left(x-a\right)dx= \] \[ =\left[\left(\frac{a^{2}}{2}-a^{2}\right)+\left(\frac{b^{2}}{2}-ab\right)\right]+\left[\left(\frac{b^{2}}{2}-ab\right)+\left(\frac{a^{2}}{2}-a^{2}\right)\right]= […]

Testo Si trovi la funzione f(x) la cui derivata è sen x e il cui grafico passa per il punto (0,2). Soluzione L’insieme delle funzioni primitive che soddisfa alla condizione \[ f’\left(x\right)=\sin x \] è dato dall’integrale indefinito \[ \int\sin xdx=-\cos x+C \] Per determinare la costante di integrazione C – ossia per individuare la […]