Testo

Per quale o quali valori di k la curva d’equazione \[ y=x^{3}+kx^{2}+3x-4 \] ha una sola tangente orizzontale?

Soluzione

La curva di equazione \[ y=x^{3}+kx^{2}+3x-4 \] è un famiglia di cubiche che rappresenta delle funzioni continue e derivabili in tutto l’insieme dei numeri reali, la cui derivata prima è: \[ y’=3x^{2}+2kx+3 \] e la condizione che esista una sola tangente orizzontale implica che \[ 3x^{2}+2kx+3=0 \] abbia una sola radice. Poichè il coefficiente del termine quadratico non dipende dal parametro ed è diverso dallo zero, l’unica possibilità dev’essere la coincidenza delle due radici dell’equazione di secondo grado, dev’essere pertanto: \[ \frac{\Delta}{4}=k^{2}-9=0\rightarrow k=\pm3 \]