Testo

Si considerino le seguenti espressioni: \[ \frac{0}{1};\frac{0}{0};\frac{1}{0};0^{0} \] A quali di esse si può attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.

Soluzione

Posto \[ \alpha=\frac{0}{1} \] la definizione di quoziente implica che debba rappresentare quel numero tale che sia \[ \alpha\cdot1=0\rightarrow\alpha=0 \] e questa uguaglianza è soddisfatta unicamente da 0. La prima scrittura possiede pertanto un significato definito.
Non si può invece dare significato alla seconda espressione in quanto si incorre in contraddizione con la proprietà della moltiplicazione. Difatti, posto \[ \alpha=\frac{1}{0}\rightarrow\alpha\cdot0=1 \] che porta all’assurdo 1 = 0.
Inoltre,nel terzo caso, posto \[ \alpha=\frac{0}{0}\rightarrow\alpha\cdot0=0 \] si può che è verificata per qualsiasi valore e quindi non è possibile trovare un’unica soluzione.
Infine,nell’ultimo caso, posto \[ \alpha=0^{0}=0^{1-1}=0^{1}\cdot0^{-1}=0\cdot\frac{1}{0}=\frac{0\cdot1}{0}=\frac{0}{0} \] Utlizzando le proprietà delle potenze, si riconduce questo caso ad uno dei due casi precedenti (o il secondo o il terzo) che non hanno avuto un significato numerico. posso allora affermare che nemmeno questo caso potrà avere un valore numerico.