Testo

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, si consideri la funzione (con k parametro reale) \[ f\left(x\right)=x^{3}+kx \] 1. Si dica come varia il grafico di f al variare di k (k positivo, negativo o nullo).

2. Sia \[ g\left(x\right)=x^{3} \] e G il suo grafico. Si dimostri che G e la retta d’equazione \[ y=1-x \] hanno un solo punto P in comune. Si determini l’ascissa di P approssimandola a meno di 0,1 con un metodo iterativo di calcolo.

3. Sia d la regione finita del primo quadrante delimitata da G e dal grafico della funzione inversa di g. Si calcoli l’area di D.

4. La regione D è la base di un solido W le cui sezioni con piani perpendicolari alla bisettrice del primo quadrante sono tutte rettangoli di altezza 12. Si determini la sezione di area massima. Si calcoli il volume di W.

Soluzione

La funzione f rappresenta un fascio di parabole cubiche che presentano diverse proprietà. La prima è che la funzione è dispari con un grafico simmetrico rispetto all’origine. \[ f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{3}+k\left(-x\right)=-x^{3}-kx=-f\left(x\right) \] Una seconda proprietà riguarda i punti fissi di tale fascio, cioè quei punti cheappartengono a qualsiasi curva del fascio e le cui coordinate non dipendono dai valori del parametro. L’unica soluzione fornita dal sistema è comunque l’origine del sistema per cui tutte le curve rappresentate dovranno passare per questo punto. \[ x^{3}+kx=0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} x^{3}-y=0\\ x=0 \end{array}\right. \] Iniziando a studiare la funzione per tutti i possibili valori di k, inizio col caso k=0 (la funzione che risulta è una parabola cubica standard). Se k > 0 il segno di f dipende dal solo fattore x nella funzione: \[ f\left(x\right)=x^{3}+kx=x\left(x^{2}+k\right)\geq0\rightarrow x\geq0 \] La funzione non presenta asintoti di alcun tipo: \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}x^{3}+kx=\pm\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] Dallo studio della derivata prima della funzione risulta poi che la funzione f è monotona strettamente crescentee dato che la sua derivata seconda invece risulta essere: \[ f”\left(x\right)=6x \] Allora la funzione f sarà concava per valori negativi di x e convessa per valori positivi di x, presentando così in x=0 un punto di flesso. Se poi prendo due valori del paramentro k tale che k1 sia compreso tra 0 e k2: \[ y_{1}=x^{3}+k_{1}x \] \[ y_{2}=x^{3}+k_{2}x \] Ponendo y1 minore di y2 ottengo: \[ x>0 \]

Analogamente a quanto fatto per k>0, le stesse considerazioni vanno fatte per k

2. Dai grafici qui sotto si vede come ci sia un unico punto di incontro si ascissa compresa tra 0 e 1. La dimostrazione di quanto appena detto si ha studiando la funzione h(x): \[ h\left(x\right)=g\left(x\right)-\left(1-x\right)=x^{3}+x-1 \] Dato che nei due punti x=0 e x=1 risulta che la funzione h(x) assume valori di segno opposto, sono certo che lo zero di questa soluzione sarà compreso tra questi due estremi e per trovarlo applico il metodo di bisezione calcolando inizialmente la funzione f nel punto medio dell’intervallo (cioè x=0,5). Procedendo ad iterare il metodo si ottengono via via i valori dati nella tabella seguente e dalla quale si può osservare che dalla quinta iterazione la prima cifra decimale appare definita.

3. L’inversa della funzione g risulta: \[ g^{-1}\left(x\right)=\sqrt[3]{x} \] e i loro punti di intersezione coincidono con l’intersezione di g con la retta di equazione y = x che è asse della simmetria che lega i grafici della funzione g e della loro inversa. Ne segue l’equazione \[ x^{3}=x \] risolta da x = 0 e x = +-1. Pertanto la regione D del primo quadrante è quella rappresentata in figura e compresa tra l’origine del sistema cartesiano ed il punto (1,1).

\[ A\left(D\right)=2\int_{0}^{1}\left(x-x^{3}\right)dx=2\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \] 4. Per determinare l’area massima delle sezioni ottenute con piani perpendicolari alla bisettrice basta determinare il valore massimo raggiunto dal segmento AB che è pari al doppio di AM, base dei rettangoli sezione e ciò in quanto le altezze di tali rettangoli sono tutte uguali. Si tratta quindi di determinare la distanza massima del punto di g dalla bisettrice y = x.

La funzione distanza da un generico punto A appartenente alla funzione: \[ d=\frac{|x^{3}-x|}{\sqrt{1+1^{2}}}=AM\; con\;0\leq x\leq1 \] \[ d=\frac{-x^{3}+x}{\sqrt{2}} \] \[ d’=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1-3x^{2}\right)\geq0\rightarrow1-3x^{2}\geq0\rightarrow x^{2}\geq\frac{1}{3} \] La sezione di area massima si ha in corrispondenza del punto A: \[ A_{MAX}\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\left(\sqrt{3}\right)^{3}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{3\sqrt{3}}\right) \] dove la sua distanza massima dalla bisettrice è: \[ AM=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{3\sqrt{6}} \] Ne segue che l’area cercata è: \[ A=12\cdot2AM=24\cdot\frac{2}{3\sqrt{6}}\approx6,5320 \] Poichè poi il solido lo si può considerare equivalente ad un prisma avente la base pari alla regione D e con la medesima altezza, il volume richiesto è espresso dal prodotto area di base per altezza. \[ V=A\cdot h=\frac{1}{2}\cdot12=6 \]