Testo

Siano 0 < a < b e x appartenente all’intervallo compreso tra b e -b. Si provi che: \[ \int_{-b}^{b}|x-a|\cdot dx=a^{2}+b^{2} \]

Soluzione

Divido la funzione integranda in questo modo: \[ \left\{ \begin{array}{c} x-a\rightarrow se\; x-a\geq0\\ a-x\rightarrow se\; x-a\leq0 \end{array}\right. \] Così l’integrale si spezza in due contributi: \[ \int_{-b}^{b}|x-a|\cdot dx=\int_{-b}^{a}-\left(x-a\right)dx+\int_{a}^{b}\left(x-a\right)dx= \] \[ =\left[\left(\frac{a^{2}}{2}-a^{2}\right)+\left(\frac{b^{2}}{2}-ab\right)\right]+\left[\left(\frac{b^{2}}{2}-ab\right)+\left(\frac{a^{2}}{2}-a^{2}\right)\right]= \] \[ =\left[\frac{a^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}+ab\right]+\left[\frac{b^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}-ab\right]=a^{2}+b^{2} \] che è proprio quello che si voleva dimostrare.