Testo

Si calcoli il seguente: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x} \]

Soluzione

Il limite dato ricade in una forma di indeterminazione del tipo \[ \frac{\infty}{\infty} \] cerco quindi di scrivere la funzione ad argomento del limite fattorizzando uno dei termini sotto la radice: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{|x|}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \] Posso togliere il valore assoluto considerando che il limite è per valori negativi: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}-\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \] Ora applico la sostituzione: \[ t=1+\frac{1}{x^{2}}\rightarrow\lim_{x\rightarrow-\infty}1+\frac{1}{x^{2}}=1+0=1^{+} \] Per cui in definitiva: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}-\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{t\rightarrow1+}-\sqrt{t}=-\sqrt{1}=-1 \]