Testo

Si dimostri la seguente: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k+1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)\frac{n-k}{n+1} \] con n e k numeri naturali e n > k.

Soluzione

Per definizione di coefficiente binomiale, si ha che il primo termine dell’uguaglianza è: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k+1 \end{array}\right)=\frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!} \] Il secondo termine invece si può scrivere come: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)\cdot\frac{n-k}{k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{n-k}{k+1}=\frac{n!(n-k)}{\left(k+1\right)k!(n-k)!}= \] \[ =\frac{n!(n-k)}{(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \] Si è pertanto dimostrata l’uguaglianza di partenza.