Testo

Si consideri la regione R delimitata da \[ y=\sqrt{x} \] dall’asse x (cioè y = 0) e dalla retta x = 4. L’integrale \[ \int_{0}^{4}2\pi x\left(\sqrt{x}\right)dx \] fornisce il volume del solido:
1) generato da R nella rotazione attorno all’asse x;
2) generato da R nella rotazione attorno all’asse y;
3) di base R le cui sezioni con piani perpendicolari all\textquoteright{}asse x sono semicerchi di raggio pari alla radice quadrata di x;
4) nessuno di questi.

Si motivi la risposta scelta.

Soluzione

L’area R descritta nell’esercizio è quella che si può vedere in arancio nella figura qui sotto.

Andiamo ad analizzare una per una le possibili soluzioni all’integrale \[ \int_{0}^{4}2\pi x\left(\sqrt{x}\right)dx \] 1) non può essere questa la soluzione giusta in quanto l’integrale generato da R nella rotazione attorno all’asse x è: \[ \int_{0}^{4}\pi\left(\sqrt{x}\right)^{2}dx=\int_{0}^{4}\pi xdx \] sia la forma che il valore (di cui si lascia il calcolo) ci dicono che la soluzione è errata.

2) non sembra essere neanche questa la soluzione giusta in quanto l’integrale generato da R nella rotazione attorno all’asse y è: \[ V_{cil}-V_{S}=\pi\left(x_{A}\right)^{2}\cdot y_{A}-\pi\int_{0}^{2}\left(y^{2}\right)^{2}dy \] ed appare diverso dalla forma che ci è stata presentata, ma se li si vanno a calcolare entrambi si scopre che questi sono equivalenti!!!

3) non può essere neanche questa la soluzione giusta in quanto l’integrale in questa opzione è: \[ \int_{0}^{4}C(x)dx=\int_{0}^{4}\frac{1}{2}\pi\left(\sqrt{x}\right)^{2}dx=\int_{0}^{4}\frac{1}{2}\pi xdx \] sia la forma che il valore (di cui si lascia il calcolo) ci dicono che la soluzione è errata.

4) essendo valida la risposta (2), questo esclude di fatto la risposta (4).