Testo

Siano:

1) ABC un triangolo rettangolo in A;
2) r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo;
3) P un punto di r distinto da B.

Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli.

Soluzione

Poichè la retta r è perpendicolare al piano del triangolo nel punto B d’incidenza, essa sarà perpendicolare a ogni retta appartenente al suddetto piano passante per il piede B ed in particolare con le rette BC e AB.

Ed allora si può dedurre che il triangolo PBC è rettangolo così come il trinagolo PBA.

Se considero che il triangolo ABC è retto in A, posso notare come CA è perpendicolare ad AB e, per quanto appena detto sopra, anche a PB.

Per il teorema delle tre perpendicolari (“se dal piede di una retta perpendicolare ad un piano si conduce la perpendicolare ad una qualunque retta dello stesso piano, quest’ultima retta è perpendicolare al piano delle prime due”) AC è perpendicolare al piano del trinagolo PBA. Per il precedente teorema allora ho dimostrato che il triangolo PAC è retto nel vertice A, cioè AC è perpendicolare ad AP.