Testo

Si calcoli con la precisione di due cifre decimali lo zero della funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+x^{3}-1 \] Come si può essere certi che esiste un unico zero?

Soluzione

La funzione \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+x^{3}-1 \] ha come dominio tutto R e nel suo dominio la funzione è sempre continua, in particolare anche nell’intervallo tra 0 e 1 dove agli estremi assume i seguenti valori: \[ f\left(0\right)=-1>0 \] \[ f\left(1\right)=1>0 \] Per il teorema degli zeri quindi sono sicuro che nell’intervallo considerato troverò almeno un punto dove la funzione si annulla. Poi, poichè la derivata prima della funzione è: \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+3x^{2} \] e la derivata prima è sempre maggiore di 0 nell’intervallo. Inoltre la funzione è monotona strettamente crescente nell’intervallo, quindi ora posso dire che lo zero che sto cercando è unico nellìintervallo tra 0 e 1.

Per determinare lo zero della funzione uso il metodo di Newton con punto di partenza pari a 0,5. \[ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{‘}\left(x_{n}\right)}\rightarrow x_{n+1}=x_{n}-\frac{\sqrt[3]{x_{n}}+x_{n}^{3}-1}{\left(\frac{1}{3\sqrt[3]{x_{n}^{2}}}+3x_{n}^{2}\right)}=g\left(x_{n}\right) \] \[ x_{1}=g\left(0,5\right)\approx0,560100 \] \[ x_{2}=g\left(0,560100\right)\approx0,560088 \] La soluzione cercata con una precisione di due cifre decimali è: \[ \alpha=0,560 \]