Testo

Sia G il grafico di una funzione f(x) che ha come dominio tutto l’insieme dei numeri reali. Si illustri in che modo è possibile stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta x=k.

Soluzione

Considero un generico punto P(x,y) appartenente alla funzione f(x) e la sua immagine P'(x’,y’) simmetrico rispetto alla retta x=k. L’appartenenza del punto medio M del segmento PP’ alla retta x=k implica le condizioni: \[ x_{M}=\frac{x+x’}{2}=k\rightarrow x’=-x+2k\;\Lambda\; y’=y \] Pertanto le due equazione che descrivono la simmetria sono: \[ \sigma_{k}\left\{ \begin{array}{c} x’=-x+2k\\ y’=y \end{array}\right.\rightarrow\sigma_{k}^{-1}\left\{ \begin{array}{c} x=-x’+2k\\ y=y’ \end{array}\right. \] Quindi G risulterà simmetrico rispetto alla retta x = k se: \[ f\left(-x+2k\right)=f\left(x\right)\:\forall x\epsilon R \]