Testo

Si trovi l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto \[ P\left(3\cos t,2\sin t\right) \] al variare di t \[ t\geq0\:\wedge\: t\leq2\pi \]

Soluzione

Le coordinate del punto P sono date in forma parametrica, cioè sono espresse tramite due equazioni. Queste due equazioni sono dipendenti ciascuna da un parametro t \[ t\geq0\:\wedge\: t\leq2\pi \] \[ Q:\left\{ \begin{array}{c} x=3\cos t\\ y=2\sin t \end{array}\right. \] per determinare più velocemente il luogo Q conviene togliere la dipendenza dal parametro t rendendo esplicita la relazione tra x e y. \[ \frac{x}{3}=\cos t \] \[ \frac{y}{2}=\sin t \] Dall’identità fondamentale avrò che: \[ \cos^{2}t+\sin^{2}t=1\rightarrow\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=1 \] E quindi il luogo Q viene ora descritto come: \[ Q:\;\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 \] Questa qui sopra è l’equazione di un’ellissi con centro nell’origine (questa nell’equazione ha semiasse maggiore orizzontale lungo 3 e semiasse minore verticale lungo 2). I vertici di questa ellisse sono A(3,0) – B(0,2) – C(-3,0) – D(0,-2).