Testo

Nella figura a lato, denotati con I, II e III, sono disegnati tre grafici.

Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è della funzione derivata f’ e l’altro ancora di f”. Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici?

Soluzione

Andiamo ad analizzare tutte le possibili alternative una ad una:

Alternativa a. Supposto che il grafico della funzione cercata sia il primo, la sua derivata prima è nulla per x=0, cosa che però non avviene per il grafico II e quindi possiamo scartare questa ipotesi.

Alternativa b. La f” per x>0 dovrebbe essere positiva mentre risulta invece per alcuni valori essere negativa e quindi possiamo scartare anche questa ipotesi.

Alternativa c. La f’ per x>0 dovrebbe essere positiva mentre risulta per certi valori negativa e quindi possiamo scartare anche questa ipotesi.

Alternativa d. Le tre funzioni appaiono coerenti con le richieste del testo e sembra che la d sia l’alternativa corretta. Al crescere di x la funzione f è crescente, f’>0 e f”>0. Raggiunto il massimo di f, f’ si annulla e poi diventa negativa fino a che x raggiunge il valore in corrispondenza del minimo di f. La f”, quando x=0, passa da negativa a positiva e la concavità di f passa da verso il basso a verso l’alto. Superata l’ascissa del minimo f cresce, f’>0 e f”>0.

Alternativa e. La f’ dovrebbe essere positiva in un intervallo centrato sull’origine mentre invece cambia segno, per questo motivo si può scartare anche questa ipotesi.