Testo Si calcoli \[ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\tan x-\tan a}{x-a} \] Soluzione

Per risolvere il limite uso il metodo di De L’Hopital visto che il limite ha una forma di indeterminazione del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] e il limite del rapporto delle derivate delle funzioni a numeratore e denominatore esiste ed è \[ \lim_{x\rightarrow a}\frac{D\left(\tan x-\tan a\right)}{D\left(x-a\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{1+\tan^{2}x}{1} \] \[ \lim_{x\rightarrow a}\frac{D\left(\tan x-\tan a\right)}{D\left(x-a\right)}=1+\tan^{2}a=\frac{1}{\cos^{2}a} \] Allora posso affermare che: \[ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\tan x-\tan a}{x-a}=\frac{1}{\cos^{2}a} \]