Testo

Si provi che l’equazione \[ x^{2011}+2011x+12=0 \] ha una sola radice compresa fra -1 e 0.

Soluzione

La funzione \[ f(x)=x^{2011}+2011x+12 \] è polinomiale e continua in tutto R e quindi pure nell’intervallo \[ [-1,0] \] I valori di f(x) agli estremi dell’intervallo dato sono: \[ f(-1)=(-1)^{2011}-2011+12=-1-2011+12=-2000<0 \] e \[ f(0)=0+0+12>0 \] Perciò per il teorema degli zeri esiste almeno un valore interno a \[ [-1,0] \] dove \[ f(x)=0 \] Infine poichè \[ f'(x)=2011x^{2010}+2011=2011\left(x^{2010}+1\right)>0\;\forall x\epsilon R \] si può dire che f(x) è strettamente crescente in \[ [-1,0] \] quindi ho dimostrato che nell’intervallo \[ [-1,0] \] c’è un solo valore dove \[ f(x)=0 \] perchè f(x) è strettamente crescente in R ma pure in \[ [-1,0] \] Il valore dove f(x)=0 quindi dev’essere unico.