Un corpo avente una massa m=40 kg che si muove su di un piano orizzontale senza attrito con una velocità di 1 m/s comprime di 20 cm una molla rispetto alla sua posizione di equilibrio. a) Calcolare la costante elastica della molla. b) Calcolare il tempo impiegato dal corpo a comprimere la molla.

Soluzione

Dati: \[ m=40\: Kg \] \[ v=1\:\frac{m}{s} \] \[ x=0,2\: m \] \[ k=?\;;\; t=? \] a) Tutta l’energia cinetica del corpo \[ E_{C}=\frac{1}{2}mv^{2} \] si trasforma in energia potenziale elastica \[ E_{P}=\frac{1}{2}kx^{2} \] quindi \[ E_{C}=E_{P} \] \[ \frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}kx^{2} \] Possiamo ricavarci la costante k: \[ k=\frac{mv^{2}}{x^{2}}=\frac{40\cdot1^{2}}{0,2^{2}}=1000\:\frac{N}{m} \] b) Il moto è armonico, la pulsazione vale \[ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1000}{40}}=5\: s^{-1} \] La durata di un’oscillazione completa, ovvero il periodo, vale \[ T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{5}=1,26\: s \] Dall’istante in cui il corpo viene a contatto con la molla, all’istante in cui si ha massima compressione, la molla ha effettuato mezza oscillazione. Di conseguenza il tempo cercato sarà la metà del periodo: \[ t=\frac{T}{2}=\frac{1,26}{2}=0,63\: s \]