Risolvere le seguenti equazioni esponenziali con il metodo di sostituzione:

Esercizio 1 \[ 4{}^{x+1}+3*2^{x}-7=0 \] \[ 2^{2x}*2^{2}+3*2^{x}-7=0 \] Ora pongo: \[ t=2^{x} \] \[ 4t^{2}+3t-7=0 \] Usando la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado mi trovo le due soluzioni: \[ t_{1}=-\frac{7}{4}\;;\; t_{2}=1 \] Tornando alla variabile x ottengo: \[ 2^{x}=-\frac{7}{4}\;;\;2^{x}=1 \] Ho una unica soluzione: \[ x=0 \]

Esercizio 2 \[ 4{}^{x}+2^{x}-2=0 \] \[ 2^{2x}+2^{x}-2=0 \] Ora pongo: \[ t=2^{x} \] \[ t^{2}+t-2=0 \] Usando la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado mi trovo le due soluzioni: \[ t_{1}=-2\;;\; t_{2}=1 \] Tornando alla variabile x ottengo: \[ 2^{x}=-2\;;\;2^{x}=1 \] Solo una delle due porta ad una soluzione reale ed è: \[ 2^{x}=1\Rightarrow x=0 \]

Esercizio 3 \[ 5{}^{2-x}+5^{x}=26 \] \[ 5{}^{2}\cdot5^{-x}+5^{x}=26 \] Ora pongo: \[ t=5^{x} \] \[ \frac{25}{t}+t-26=0 \] \[ 25+t^{2}-26t=0 \] Usando la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado mi trovo le due soluzioni: \[ t_{1}=1\;;\; t_{2}=25 \] Tornando alla variabile x ottengo: \[ 5^{x}=1\;;\;5^{x}=25 \] \[ x_{1}=0\;;\; x_{2}=2 \]

Esercizio 4 \[ 3{}^{x+2}+3^{2-x}=82 \] \[ 3{}^{x}\cdot3^{2}+3^{2}\cdot3^{-x}=82 \] Ora pongo: \[ t=3^{x} \] \[ 9t+\frac{9}{t}-82=0 \] \[ 9t^{2}+9-82t=0 \] Usando la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado mi trovo le due soluzioni: \[ t_{1}=\frac{1}{9}\;;\; t_{2}=9 \] Tornando alla variabile x ottengo: \[ 3^{x}=\frac{1}{9}\;;\;3^{x}=9 \] \[ x_{1}=-2\;;\; x_{2}=2 \]