Risolvere le seguenti equazioni esponenziali con il metodo di sostituzione:

Esercizio 1 \[ 3\cdot9{}^{x}+4\cdot3^{x}-7=0 \] \[ 3\cdot3{}^{2x}+4\cdot3^{x}-7=0 \] Ora pongo: \[ t=3^{x} \] \[ 3t^{2}+4t-7=0 \] Usando la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado mi trovo le due soluzioni: \[ t_{1}=-7/3\;;\; t_{2}=1 \] Tornando alla variabile x ottengo: \[ 3^{x}=-7/3\;;\;3^{x}=1 \] \[ 3^{x}=1\Rightarrow x=0 \]

Esercizio 2 \[ 3{}^{x+1}+2\cdot9{}^{x+1}-3^{x+2}=0 \] \[ 3{}^{x}\cdot3+2\cdot3^{2}\cdot3{}^{2x}-3^{x}\cdot3^{2}=0 \] \[ 3\cdot3{}^{x}+18\cdot3{}^{2x}-9\cdot3^{x}=0 \] Ora pongo: \[ t=3^{x} \] \[ 3t+18t^{2}-9t=0 \] \[ 18t^{2}-6t=0 \] \[ t\left(18t-6\right)=0 \] Scomponendo trovo: \[ t=\frac{1}{3} \] Tornando alla variabile x ottengo: \[ 3^{x}=\frac{1}{3} \] \[ x_{2}=-1 \]

Esercizio 3 \[ 2{}^{x+3}+4{}^{x+1}=320 \] \[ 2{}^{x}\cdot8+4\cdot2{}^{2x}-320=0 \] Ora pongo: \[ t=2^{x} \] \[ 8t+4t^{2}-320=0 \] Usando la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado mi trovo le due soluzioni: \[ t_{1}=-10\;;\; t_{2}=8 \] Tornando alla variabile x (per il solo valore di t che porta ad una soluzione reale) ottengo: \[ 2^{x}=8 \] \[ x_{1}=3 \]

Esercizio 4 \[ \left(\frac{5}{2}\right)^{2x}-\left(\frac{15}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)^{x}=-\frac{25}{2} \] Ora pongo: \[ t=\left(\frac{5}{2}\right)^{x} \] \[ t^{2}-\frac{15}{2}t+\frac{25}{2}=0 \] Usando la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado mi trovo le due soluzioni: \[ t_{1}=\frac{5}{2}\;;\; t_{2}=5 \] Tornando alla variabile x ottengo: \[ \left(\frac{5}{2}\right)^{x}=\frac{5}{2}\;;\;\left(\frac{5}{2}\right)^{x}=5 \] Quindi x2=1 mentre x1 è l’esponente da dare a 5/2 per ottenere 5.