E’ data una semicirconferenza di diametro AB=2r: si determini su essa un punto C tale che, condotta la perpendicolare CD ad AB, risulti massima la somma CD+DB.

Soluzione

Chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ C\hat{O}D=x \] Scriviamo CD e DB in funzione di x: \[ \overline{CD}=\overline{CO}\sin x=r\sin x \] \[ \overline{DB}=\overline{OB}+\overline{OD}=r+r\cos x \] \[ \overline{DB}=r\left(1+\cos x\right) \] Ora possiamo scrivere la nostra funzione somma con l’unica incognita x: \[ f\left(x\right)=\overline{CD}+\overline{DB} \] \[ f\left(x\right)=r\sin x+r\left(1+\cos x\right) \] \[ f\left(x\right)=r\left(\sin x+\cos x+1\right) \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(x\right)=r\left(\cos x-\sin x\right) \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\cos x-\sin x\geq0 \] Otteniamo: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\cos x\geq\sin x \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\frac{\pi}{4} \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione somma è positiva. La funzione f(x) è crescente per x minore di pi/4, decrescente per x maggiore di pi/4, ha quindi un massimo per \[ x=\frac{\pi}{4} \] \[ C\hat{O}D=\frac{\pi}{4} \] La somma massima vale quindi \[ \overline{CD}+\overline{DB}=r\left(\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}+1\right) \] \[ \overline{CD}+\overline{DB}=r\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) \] \[ \overline{CD}+\overline{DB}=r\left(\sqrt{2}+1\right) \]