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Data la funzione: $f(x)=4 x^3+2 x^2$, calcolare il: dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti, derivate e tracciare il grafico.
DOMINIO:
$D=\mathbb{R}$
SIMMETRIE:
$f(-x)=-4 x^3+2 x^2 / \neq f(x)$ NO PARI
\( \neq-f(x) \) NO DISPARI
INTERSEZIONI CON GLI ASSI:
$\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l}x=0 \\ f(x)=4 x^3+2 x^2\end{array} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array} \rightarrow(0,0) \in f(x)\right.\right. \\ & \left\{\begin{array}{l}y=0 \\ y=4 x^3+2 x^2\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ 4 x^3+2 x^2=0\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ x^2(4 x+2)=0\end{array}\right.\right.\right. \\ & \left\{\begin{array}{l}y=0 \\ x=0 \vee x=-\frac{1}{2}\end{array} \rightarrow\left(-\frac{1}{2}, 0\right) \in f(x)\right. \\ & \end{aligned}$
SEGNO:
$f(x)>0 \rightarrow 4 x^3+2 x^2>0 \rightarrow x^2(4 x+2)>0$
$\begin{aligned} & x^2>0 \rightarrow x \neq 0 \\ & 4 x+2>0 \rightarrow x>-\frac{1}{2}\end{aligned}$
LIMITI:
$\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} x^2(4 x+2)=+\infty \cdot(-\infty)=-\infty$
$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty \\ & \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} x(4 x+2)=+\infty\end{aligned}$
DERIVATE:
$\begin{aligned} & f^{\prime}(x)=12 x^2+4 x \\ & f^{\prime}(x) \geqslant 0 \rightarrow 4 x(3 x+1) \geqslant 0\end{aligned}$
$\begin{aligned} & 4 x \geqslant 0 \rightarrow x \geqslant 0 \\ & 3 x+1 \geqslant 0 \rightarrow x \geqslant-\frac{1}{3}\end{aligned}$
$\begin{aligned} & f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{27} \rightarrow\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{27}\right) M A X \\ & f(0)=0 \rightarrow(0,0) M I N\end{aligned}$
$\begin{aligned} & f^{\prime \prime}(x)=24 x+4 \\ & f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0 \rightarrow 24 x+4 \geqslant 0 \rightarrow x \geqslant-\frac{1}{6}\end{aligned}$
$f\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{27} \rightarrow\left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{27}\right) F$
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non ho capito la parte dei limiti per il resto tutto chiaro
La tangente nel punto di flesso che equazione viene?
Ragazzi qualcuno potrebbe spiegarmi le simmetrie
innanzitutto ha senso “perderci del tempo” solo se il dominio è un intervallo di valori simmetrico, come ad esempio tutto R, oppure (altro esempio) (-∞ , -5 ] U [ 5, +∞).
Detto questo, per valutare se la funzione presenta simmetrie:
1)ti calcoli f(-x) (segno – ad argomento, applicazione di funzione)
2)
lo confronti con f(x), se sono uguali, ovvero f(-x) = f(x) => f è PARI
lo confronti con -f(x), (che si ottiene semplicemente negando f(x)) , se sono uguali, ovvero f(x) = -f(x) => f è DISPARI
se lo è, ti basta studiare solo un “pezzo” di grafico sapendo che dall’ altra parte hai una simmetria o rispetto all origine o rispetto a y.
Saluti
***** lo confronti con -f(x), (che si ottiene semplicemente negando f(x)) , se sono uguali, ovvero f(-x) = -f(x) => f è DISPARI
Le simmetrie possono essere di due tipi:pari quando con equazione x=k è l’asse di simmetria,dispari quando l’origine degli assi è punto di simmetria,guardando grafici particolari si capisce meglio
Non riesco a capire.. perché nello studio del segno x^2>0 risulta x diverso da 0?
Perchè per un qualsiasi numero x diverso da zero, x^2 è sempre positivo.
ciao! questi esercizi svolti mi hanno aperto un mondo a me sconosciuto su come risolvere questi tipi di esercizi ma ho ancora un dubbio nello studio delle derivate: da dove vengono fuori i punti 2/27 e 1/27? come li hai calcolati? grazie mille in anticipo!
Daniel
Ciao, ti spiego. Dopo che hai trovato il min e il max poi vai a sostituire quel numero nella f(x) per trovare la coordinata mancante
ciao!! volevo sapere perchè nel segno della funzione metti x diverso da zero e non x maggiore di zero. ho capito che x^2 maggiore di zero è per gli x diversi da zero… ma nel grafico dei segni se faccio il prodotto dei segni che si trovano dopo lo zero, sbaglio? facendo così appunto mi viene x maggiore di zero e non diverso da zero… Grazie!!
complimenti bel sito proprio fatto bene :)
salve mi può spiegare perchè quando viene calcolato il segno X^2 > 0 => X diverso da 0 ?
se dividi la funzione per x si abbassano di grado le x: f(x)/x = 4x^2+2x
quando si fa i limiti per più e meno infinito troviamo il risultato fin li ok ma come mai si fa i limiti anche per f(x)/x?
non ho capito come lei ha trovato la derivata prima, e i punti di massimo e minimo..
Mi pare che i passaggi ci siano… si tratta di derivare una funzione razionale, se hai difficoltà ti consiglio di andare alle sezione derivate di questo sito (ci sono tantissime derivate svolte) ;)
non ho capito quelle x diverse da 0 dello studio della funzione…mi aiuteresti?
niente di chè: stanno ad indicare che se x=0 la funzione si annulla
Nn riesco a capire una cosa x quanto riguarda i limiti, prima di cercare l’asintoto obliquo, nn bisogna cercare quello orizzontale?
Eventuali asintoti orizzontali vengono rivelati dallo studio dei limiti per x che tende a meno o più infinito. In questo caso non ci sono.
nn ho capito come esce -1/6=1/27 ? il punto di flesso…. grazie
f(-1/6)= 4(-1/6)^3 +2(-1/6)^2 =
= 4*(-1/216) +2*1/36 =
= -1/54 +1/18 =
= -1/54 +3/54 =
= 2/54 = 1/27
Ciao Albert nello studio del segno dove fai il grafico mi viene tutto al contrario me lo spiegheresti x favore?
La prima riga rappresenta il segno del primo fattore (x^2 sempre positivo), la seconda riga rappresenta il segno del secondo fattore (positivo per x>-1/2). La terza riga rappresenta il prodotto tra i due fattori, ovvero il segno della funzione: +*-=- nel primo intervallo, e +*+=+ negli altri due.
Se ti viene ancora al contrario spiegami il tuo procedimento e ti dico dove sbagli…