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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1+\left|x\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:
Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1+x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x} \] 1) Dominio: \[ 1+\left|x\right|\geq0\rightarrow\left|x\right|\geq-1\;\forall x\mathbb{\in R} \] \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt{1+\left|-x\right|}=\sqrt{1+\left|x\right|}=f\left(x\right) \] f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare solo per x>0. Per x<0 sarà simmetrica rispetto all’asse y.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=1 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;1\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \sqrt{1+\left|x\right|}=0 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \left|x\right|=-1 \end{array}\right.\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\;\forall x\in\mathbb{R} \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{1+x}}{x}=0 \] Non ci sono asintoti obliqui.

6) Derivate:
Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive: \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \] \[ f’\left(x\right)>0\;\forall x>0 \] quindi f'(x) è positiva nell’intervallo per x>0, di conseguenza in questo intervallo f(x) è crescente.

Notiamo che: \[ f’\left(0\right)=\frac{1}{2} \] \[ \lim_{x\rightarrow o^{-}}f’\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow o^{-}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=-\frac{1}{2} \] \[ \lim_{x\rightarrow o^{-}}f’\left(x\right)\neq f’\left(0\right) \] quindi (0;1) è un punto angoloso.

Derivata seconda:
Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive: \[ f”\left(x\right)=-2\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\left(\frac{1}{4\left(1+x\right)}\right)=-\frac{1}{4\sqrt{\left(1+x\right)^{3}}} \] \[ f”\left(x\right)<0\;\forall x\geq0 \] quindi per x>0 la funzione risulta concava. Per simmetria anche nell’intervallo x<0 risulterà concava.

 

 

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