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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-\left|x\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:
Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+x} \] 1) Dominio: \[ \left\{ \begin{array}{c} x\geq0\\ x^{2}-x\geq0 \end{array}\right.\cup\left\{ \begin{array}{c} x<0\\ x^{2}+x\geq0 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x\geq0\\ x\leq0\:\vee\: x\geq1 \end{array}\right.\cup\left\{ \begin{array}{c} x<0\\ x\leq-1\:\vee\: x\geq0 \end{array}\right. \] \[ \left\{ 0\right\} \;\cup\;\left[1;+\infty\right)\;\cup\;\left(-\infty;-1\right] \] \[ D=\left(-\infty;-1\right]\;\cup\;\left\{ 0\right\} \;\cup\;\left[+1;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt{\left(-x\right)^{2}-\left|-x\right|}=\sqrt{x^{2}-\left|x\right|}=f\left(x\right) \] f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare solo per x>0. Per x<0 la curva sarà simmetrica rispetto all’asse y.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x^{2}-\left|x\right|=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(\pm1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{x}=1 \] \[ q=\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)-mx=\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x^{2}-x}-x \] \[ q=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x}-x\right)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-x}+x}{\sqrt{x^{2}-x}+x} \] \[ q=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}-x-x^{2}}{x\sqrt{1-\frac{1}{x}}+x} \] \[ q=\lim_{x\rightarrow+\infty}-\frac{x}{x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1\right)}=-\frac{1}{2} \] quindi: \[ y=x-\frac{1}{2} \] e, per simmetria \[ y=-x-\frac{1}{2} \] sono asintoti obliqui.

6) Derivate:
Ricordandoci di studiare la funzione per x positive, più precisamente (visto il dominio) per x>1: \[ f’\left(x\right)=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x}} \] Ovviamente in x=0, che è un punto isolato, la derivata non esiste, invece per x>1 avremo: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow2x-1\geq0\rightarrow x\geq\frac{1}{2} \] quindi f'(x) è sempre positiva per x>1, di conseguenza in questo intervallo f(x) è crescente.
Notiamo che: \[ \lim_{x\rightarrow1^{+}}f’\left(x\right)=\infty \] quindi la tangente in (1;0) sarà x=1, e per simmetria, in (-1;0) sarà x=-1.

Derivata seconda:
Ricordandoci di studiare la funzione per x positive, più precisamente (visto il dominio) per x>1: \[ f’\left(x\right)=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x}} \] \[ f”\left(x\right)=\left(4\sqrt{x^{2}-x}-\left(2x-1\right)\cdot2\cdot\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x}}\right)\cdot\frac{1}{4\left(x^{2}-x\right)} \] \[ f”\left(x\right)=\left(4\sqrt{x^{2}-x}-\frac{4x^{2}-4x+1}{\sqrt{x^{2}-x}}\right)\cdot\frac{1}{4\left(x^{2}-x\right)} \] \[ f”\left(x\right)=\left(\frac{4x^{2}-4x-4x^{2}+4x-1}{\sqrt{x^{2}-x}}\right)\cdot\frac{1}{4\left(x^{2}-x\right)} \] \[ f”\left(x\right)=\left(-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x}}\right)\cdot\frac{1}{4\left(x^{2}-x\right)} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{4\sqrt{\left(x^{2}-x\right)^{3}}} \] Quindi: \[ f”\left(x\right)<0\;\forall x>1 \] quindi in questo intervallo la funzione risulta concava.

 

 

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