Studio di funzioni – Esercizio 89

 

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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^{2}}e^{x} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt[3]{\left(-x\right)^{2}}e^{-x}=\sqrt[3]{x^{2}}e^{-x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\;\forall x\in\mathbb{R} \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] Per x che tende a + infinito non c’è asintoto obliquo. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\left[\infty\cdot0\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{\frac{2}{3}}}{e^{-x}}=0^{+} \] y=0 è un asintoto orizzontale.

6) Derivate: \[ f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}\cdot e^{x} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\cdot e^{x}+x^{\frac{2}{3}}\cdot e^{x}=e^{x}\left(\frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+\sqrt[3]{x^{2}}\right) \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+\sqrt[3]{x^{2}}\geq0\rightarrow x^{2}\geq-\frac{8}{27x} \] \[ \rightarrow x^{2}+\frac{8}{27x}\geq0\rightarrow\frac{27x^{3}+8}{x}\geq0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\rightarrow x\geq-\frac{2}{3}\\ Den>0\rightarrow x>0 \end{array}\right. \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-\frac{2}{3}\;\vee\; x>0 \] quindi per x<2/3 e per x>0 la funzione è crescente. Tra -2/3 e 0 la funzione è decrescente. In x=-2/3 abbiamo quindi un massimo, e in O un minimo: \[ MAX\left(-\frac{2}{3};\:\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\cdot e^{-\frac{2}{3}}\right) \] \[ MIN\left(0;0\right) \] In x=0 la funzione passa da decrescente a crescente, ma la derivata non esiste. Perciò calcoliamo: \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f’\left(x\right)=-\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f’\left(x\right)=+\infty \] quindi (0;0) è una cuspide.

Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=e^{x}\left(\frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{2}{9}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4}}}+\frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right) \] \[ f”\left(x\right)=e^{x}\left(\frac{4}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{2}{9}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4}}}\right) \] \[ f”\left(x\right)=\frac{1}{9}e^{x}\left(12\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+9\cdot\sqrt[3]{x^{2}}-2\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4}}}\right) \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow12\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+9\cdot\sqrt[3]{x^{2}}-2\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4}}}\geq0 \] \[ t=\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\rightarrow x=\frac{1}{t^{3}} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow12t+\frac{9}{t^{2}}-2t^{4}\geq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow2t^{6}-12t^{3}-9\leq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow t^{3}\geq\frac{6-3\sqrt{6}}{2}\:\wedge\: t^{3}\leq\frac{6+3\sqrt{6}}{2} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\frac{2}{6-3\sqrt{6}}\:\vee\: x\geq\frac{2}{6+3\sqrt{6}} \] Razionalizzando: \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\frac{-2-\sqrt{6}}{3}\:\vee\: x\geq\frac{-2+\sqrt{6}}{3} \] quindi tra questi due valori la funzione è concava (in O non esiste), e per valori esterni è convessa. Quindi si hanno punti di flesso per: \[ x_{F1}=\frac{-2-\sqrt{6}}{3} \] \[ x_{F2}=\frac{-2+\sqrt{6}}{3} \]

 

 

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19 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 89

  1. Ciao albert, non capisco come nella derivata seconda tu ottenga quel 2/9 come coefficente di radice cubica di 1 fratto x^4

  2. Ciao, non ho capito perchè nel calcolo dei limiti, il lim per x–> -infinito di f(x) è uguale a 0+….mi potresti spiegare il passaggio? Grazie mille.

    1. ho un’impressione… O sbaglio a considerare x2/3 come g[f(x)] oppure non capisco se magari quel 2/3 è un semplice riporto dell’esponente della x, oppure ho sbagliato completamente a prenderla così.

    2. risolto… derivavo x^2/3 diminuendo di uno anche il 2/3 da mettere davanti la x… buono che almeno alla fine me ne sono accorto.. Ottimo sito comunque, complimenti

  3. No albert io non l’ho capito nello studio del segno della derivata prima come hai fatto ad ottenere x^2 e quindi fare tutte le operazioni che arrivano al tuo risultato!!!
    Se puoi aiutarmi grazie mille!!!

    1. Porto il 2/3 dentro la redice terza di 1/x. Porto questa radice a destra della disequazione. Elevo a dx e sx alla terza eliminando così le radici e ottenendo:
      x^2 >= -8/(27x)

  4. scusami ma come ha fatto il limite con x che tende a meno infinito a venirti 0? non sarebbe invece infinito/0 che fa appunto infinito? grazie :D

    1. No, viene inf/inf perchè e^(-(-inf))=e^inf al denominatore.

      Poi vince l’infinito al denominatore perchè è un esponenziale, ma lo puoi fare anche con de l’hopital

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