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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^{2}}e^{x} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\sqrt[3]{\left(-x\right)^{2}}e^{-x}=\sqrt[3]{x^{2}}e^{-x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\;\forall x\in\mathbb{R} \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] Per x che tende a + infinito non c’è asintoto obliquo. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\left[\infty\cdot0\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{\frac{2}{3}}}{e^{-x}}=0^{+} \] y=0 è un asintoto orizzontale.

6) Derivate: \[ f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}\cdot e^{x} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\cdot e^{x}+x^{\frac{2}{3}}\cdot e^{x}=e^{x}\left(\frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+\sqrt[3]{x^{2}}\right) \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+\sqrt[3]{x^{2}}\geq0\rightarrow x^{2}\geq-\frac{8}{27x} \] \[ \rightarrow x^{2}+\frac{8}{27x}\geq0\rightarrow\frac{27x^{3}+8}{x}\geq0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\rightarrow x\geq-\frac{2}{3}\\ Den>0\rightarrow x>0 \end{array}\right. \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-\frac{2}{3}\;\vee\; x>0 \] quindi per x<2/3 e per x>0 la funzione è crescente. Tra -2/3 e 0 la funzione è decrescente. In x=-2/3 abbiamo quindi un massimo, e in O un minimo: \[ MAX\left(-\frac{2}{3};\:\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\cdot e^{-\frac{2}{3}}\right) \] \[ MIN\left(0;0\right) \] In x=0 la funzione passa da decrescente a crescente, ma la derivata non esiste. Perciò calcoliamo: \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f’\left(x\right)=-\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f’\left(x\right)=+\infty \] quindi (0;0) è una cuspide.

Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=e^{x}\left(\frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{2}{9}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4}}}+\frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right) \] \[ f”\left(x\right)=e^{x}\left(\frac{4}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{2}{9}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4}}}\right) \] \[ f”\left(x\right)=\frac{1}{9}e^{x}\left(12\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+9\cdot\sqrt[3]{x^{2}}-2\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4}}}\right) \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow12\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x}}+9\cdot\sqrt[3]{x^{2}}-2\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4}}}\geq0 \] \[ t=\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\rightarrow x=\frac{1}{t^{3}} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow12t+\frac{9}{t^{2}}-2t^{4}\geq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow2t^{6}-12t^{3}-9\leq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow t^{3}\geq\frac{6-3\sqrt{6}}{2}\:\wedge\: t^{3}\leq\frac{6+3\sqrt{6}}{2} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\frac{2}{6-3\sqrt{6}}\:\vee\: x\geq\frac{2}{6+3\sqrt{6}} \] Razionalizzando: \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\frac{-2-\sqrt{6}}{3}\:\vee\: x\geq\frac{-2+\sqrt{6}}{3} \] quindi tra questi due valori la funzione è concava (in O non esiste), e per valori esterni è convessa. Quindi si hanno punti di flesso per: \[ x_{F1}=\frac{-2-\sqrt{6}}{3} \] \[ x_{F2}=\frac{-2+\sqrt{6}}{3} \]

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