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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{x}-1}{x} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{-x}-1}{-x}=-\frac{e^{-x}-1}{x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ e^{x}-1=0 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ e^{x}=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=0 \end{array}\right.\rightarrow x=0\:\notin D \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num>0\rightarrow x>0\\ Den>0\rightarrow x>0 \end{array}\right. \] \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] Per x che tende a +infinito non ci sono asintoti. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-1}{x}=0^{+} \] Per x che tende a -infinito, y=0 è asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow0^{\pm}}f\left(x\right)=\left[\frac{0}{0}\right] \] Con De L’Hopital: \[ \lim_{x\rightarrow0^{\pm}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}e^{x}=1 \] (0;1) è quindi per la funzione un punto di discontinuità di terza specie, o eliminabile.

6) Derivate: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{x}-1}{x} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{xe^{x}-e^{x}+1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow xe^{x}-e^{x}+1\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x-1+\frac{1}{e^{x}}\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow e^{-x}\geq1-x \] Per via grafica:

\[ f’\left(x\right)>0\;\forall x\in D \] e la funzione è sempre crescente.
Notiamo anche che, con De L’Hopital: \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f’\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}f’\left(x\right)=\frac{1}{2} \] Derivata seconda: \[ f’\left(x\right)=\frac{xe^{x}-e^{x}+1}{x^{2}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{x^{3}e^{x}-2x\left(xe^{x}-e^{x}+1\right)}{x^{4}}=\frac{2xe^{x}\left(\frac{1}{2}x^{2}-x+1-e^{-x}\right)}{x^{4}}=\frac{2e^{x}\left(\frac{1}{2}x^{2}-x+1-e^{-x}\right)}{x^{3}} \] \[ f”\left(x\right)\geq0 \] \[ Num\geq0\rightarrow\frac{1}{2}x^{2}-x+1\geq e^{-x} \] Per via grafica:

\[ Num\geq0\rightarrow x>0 \] \[ Den\geq0\rightarrow x^{3}>0\rightarrow x>0 \] \[ f”\left(x\right)>0\;\forall x\in D \] e la funzione è sempre convessa.

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