Ad un esame universitario, a cui partecipano 70 candidati, sono stati assegnati tre esercizi. 7 candidati hanno eseguito in modo corretto tutti e tre gli esercizi. Tutti quelli che hanno eseguito in modo corretto il terzo esercizio, hanno eseguito in modo corretto anche i primi due, 23 candidati hanno eseguito in modo corretto solo i primi due, 5 non hanno eseguito in modo corretto nessun esercizio e 54 hanno eseguito in modo corretto il primo. Trovare quanti candidati hanno eseguito in modo corretto solo il primo esercizio, quanti solo il secondo.

Soluzione:

Chiamiamo S l’insieme universo dei canditati all’esame, A l’insieme dei candidati che hanno eseguito in modo corretto il primo esercizio, B l’insieme dei candidati che hanno eseguito in modo corretto il secondo esercizio, C l’insieme dei candidati che hanno eseguito in modo corretto il terzo esercizio. Sappiamo che il numero di elementi dell’insieme S è 70, il numero di elementi dell’insieme A ∩ B ∩ C è 7, il numero di elementi degli insiemi C – (A U B), (C ∩ B) – A, (C ∩ A) – B è zero, il numero di elementi dell’insieme (A ∩ B) – C è 23, il numero di elementi dell’insieme S – ( A U B U C) è 5, il numero di elementi dell’insieme A è 54. Dobbiamo trovare il numero di elementi degli insiemi A – (B U C) e B – (A U C).

Calcoliamo quanti candidati hanno eseguito in modo corretto almeno un esercizio, ovvero il numero di elementi dell’insieme A U B U C: sono 70 – 5 = 65. Calcoliamo quanti candidati hanno eseguito in modo corretto SOLO il primo esercizio, ovvero il numero di elementi dell’insieme A – (B U C): sono 54 – (23 + 7) = 24. Calcoliamo adesso quanti candidati hanno eseguito in modo corretto SOLO il secondo esercizio, ovvero il numero di elementi dell’insieme B – (A U C): sono 65 – 54 = 11.