In questa pagina trovi problemi svolti di massimo e minimo in geometria analitica: esercizi di ottimizzazione in cui la funzione da minimizzare o massimizzare è legata a distanze da rette, coordinate di punti su curve o dimensioni di figure inscritte. Ogni problema viene risolto passo per passo con il metodo delle derivate.
Metodo generale per i problemi di ottimizzazione:
- Esprimere la quantità da ottimizzare come funzione di una sola variabile $x$.
- Calcolare la derivata prima $f'(x)$ e trovare i punti critici con $f'(x) = 0$.
- Verificare con la derivata seconda (o il segno di $f'$) se il punto critico è massimo o minimo.
- Calcolare il valore ottimale e rispondere al quesito.
Per i problemi di ottimizzazione con funzioni di due variabili consulta Massimi e minimi in due variabili.
Problema 1 — Punto sull’asse delle ascisse con minima somma di quadrati di distanze
Determinare il punto $P$ sull’asse delle ascisse per il quale è minima la somma del quadrato della sua distanza dalla retta $r\colon y = x + 1$ con il quadrato della sua distanza dalla retta $s\colon x = 4$.
Soluzione
Il punto $P$ ha coordinate $P(x,\, 0)$.
Distanza da $s\colon x = 4$:
$$d_s^2 = (4 - x)^2$$
Distanza da $r\colon {-x + y - 1 = 0}$ (la retta $y=x+1$ riscritta in forma implicita $-x+y-1=0$):
$$d_r = \frac{|-x + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x+1|}{\sqrt{2}}, \qquad d_r^2 = \frac{(x+1)^2}{2}$$
Funzione da minimizzare:
$$f(x) = d_s^2 + d_r^2 = (4-x)^2 + \frac{(x+1)^2}{2}$$
Sviluppando:
$$f(x) = 16 - 8x + x^2 + \frac{x^2 + 2x + 1}{2} = \frac{3x^2}{2} - 7x + \frac{33}{2} = \frac{1}{2}(3x^2 - 14x + 33)$$
Derivata prima:
$$f'(x) = \frac{1}{2}(6x - 14) = 3x - 7$$
Punto critico: $f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{7}{3}$.
Derivata seconda: $f''(x) = 3 > 0$ → minimo.
$$\boxed{P = \left(\frac{7}{3},\; 0\right)}$$
Valore minimo: $f\!\left(\dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{49}{3} - \dfrac{98}{3} + 33\right) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{50}{3} = \dfrac{25}{3}$.
Problema 2 — Punto di una parabola con massima somma delle coordinate
Determinare il punto della parabola $4y + x^2 = 10x - 5$ per il quale è massima la somma delle sue coordinate.
Soluzione
Esplicitiamo $y$:
$$y = \frac{-x^2 + 10x - 5}{4}$$
Il punto generico $P$ sulla parabola vale $P\!\left(x,\; \dfrac{-x^2+10x-5}{4}\right)$. La somma da massimizzare è:
$$f(x) = x + y = x + \frac{-x^2 + 10x - 5}{4} = -\frac{x^2}{4} + \frac{7x}{2} - \frac{5}{4}$$
Derivata prima:
$$f'(x) = -\frac{x}{2} + \frac{7}{2} = \frac{7 - x}{2}$$
Punto critico: $f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 7$.
Derivata seconda: $f”(x) = -\dfrac{1}{2} < 0$ → massimo.
Coordinata $y$: $y = \dfrac{-49 + 70 - 5}{4} = \dfrac{16}{4} = 4$.
$$\boxed{P = (7,\; 4)}$$
Somma massima delle coordinate: $f(7) = 7 + 4 = 11$.
Problema 3 — Rettangolo inscritto in una semicirconferenza con area massima
Determinare le dimensioni del rettangolo inscritto in una semicirconferenza di raggio $R = 5$ cm (con la base sul diametro) che ha area massima.
Soluzione
Posizioniamo il centro della semicirconferenza nell’origine. Il rettangolo ha base $2x$ (simmetrica rispetto all’asse $y$) e altezza $y$. Il vertice superiore destro $Q=(x,y)$ deve stare sulla semicirconferenza, quindi:
$$x^2 + y^2 = 25 \;\Rightarrow\; y = \sqrt{25 – x^2}, \quad 0 < x < 5$$
Area del rettangolo:
$$A(x) = 2x \cdot y = 2x\sqrt{25 - x^2}$$
Per trovare il massimo calcoliamo la derivata prima (regola del prodotto):
$$A'(x) = 2\sqrt{25-x^2} + 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} = \frac{2(25 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{25-x^2}} = \frac{2(25 - 2x^2)}{\sqrt{25-x^2}}$$
Punto critico: $A'(x) = 0 \;\Rightarrow\; 25 - 2x^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{5}{\sqrt{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
Poiché $A'(x) > 0$ per $x < \dfrac{5}{\sqrt{2}}$ e $A'(x) < 0$ per $x > \dfrac{5}{\sqrt{2}}$, il punto è un massimo.
Dimensioni del rettangolo ottimale:
$$\text{base} = 2x = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \text{ cm}$$
$$\text{altezza} = y = \sqrt{25 - \frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54 \text{ cm}$$
Il rettangolo di area massima ha la base doppia dell’altezza (rapporto 2:1):
$$A_{\max} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ cm}^2$$
→ Massimi e minimi in due variabili | Indice analisi matematica