L’analisi matematica è il ramo della matematica che studia i concetti di limite, continuità, derivata e integrale. Questa sezione raccoglie tutti gli esercizi svolti suddivisi per argomento.
Domini di funzioni — determinare il dominio, intersezioni e segno
Limiti di funzioni — calcolo di limiti, forme indeterminate e limiti notevoli
Derivate — regole di derivazione, esercizi sulle derivate
Studio di funzioni — metodo completo con tutti i passi (oltre 100 esercizi svolti)
Integrali — integrali indefiniti, definiti, per parti, per sostituzione e doppi
Equazioni differenziali — esercizi svolti passo per passo
Funzioni in due variabili — massimi, minimi, punti di sella
Problemi di massimo e minimo — ottimizzazione con le derivate
Studio di funzioni per tipo:
razionali intere ·
razionali fratte ·
irrazionali ·
logaritmiche ·
esponenziali ·
goniometriche ·
con valori assoluti ·
funzioni inverse
Integrali per tecnica:
integrali indefiniti ·
integrali definiti ·
integrazione per parti ·
integrazione per sostituzione ·
integrali doppi
In questa pagina trovi 3 esercizi svolti di studio di funzione trigonometrica, con tutti i passaggi passo per passo: dominio, simmetrie, limiti, derivata prima e seconda, grafico. Gli esercizi coprono le funzioni fondamentali $f(x) = \sin(x)$, $f(x) = \tan(x)$ e la funzione composta $f(x) = \sin(x)\cdot e^x$ (livello universitario). Per ogni funzione seguiamo il metodo […]
Equazioni differenziali: esercizi svolti e metodi di risoluzione Un’equazione differenziale è un’equazione in cui l’incognita è una funzione e compaiono le sue derivate. Sono lo strumento matematico con cui si descrivono la crescita esponenziale, i circuiti elettrici, il moto di un pendolo e decine di altri fenomeni. In questa pagina trovi la teoria essenziale, due […]
L’analisi matematica dello studio di funzione si riferisce alle tecniche utilizzate per esaminare la funzione f(x) con l’obiettivo di individuarne alcune proprietà qualitative. Grazie ad un adeguato studio di funzione, è possibile disegnare il grafico della funzione e avere una comprensione completa del suo comportamento. Lo studio di funzioni è l’argomento cardine dell’analisi matematica: permette […]
Studiamo la funzione \[ f(x)=x^{\frac{3}{5-4x}} \] Dominio, asintoti e simmetrie \[ 5-4x\neq 0\rightarrow x \neq\frac{5}{4} \] \[ \mathcal{D}: \left(-\infty; \frac{5}{4}\right)\bigcup\left(\frac{5}{4};+\infty\right) \] Non sono presenti simmetrie evidenti. Comportamento agli estremi del dominio \[ \lim_{x\to \frac{5}{4}^-}xe^{\frac{3}{5-4x}}=\frac{5}{4}e^{\frac{3}{0^+}}=\frac{5}{4}e^{+\infty}=+\infty \] \[ \lim_{x\to \frac{5}{4}^+}xe^{\frac{3}{5-4x}}=\frac{5}{4}e^{\frac{3}{0^-}}=\frac{5}{4}e^{-\infty}=0 \] \(x=\frac{5}{4}\) Asintoto verticale (sinistro) \[ \lim_{x \to -\infty}xe^\frac{3}{5-4x}=-\infty e^0=-\infty \] Non esiste l’asintoto orizzontale, potrebbe esistere […]
Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int x^{2}\arctan xdx \] Soluzione Questo integrale si può risolvere per parti, ponendo \[ f\left(x\right)=\arctan x \] \[ g’\left(x\right)=x^{2} \] Otteniamo: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx \] Proseguiamo dividendo i polinomi della nuova funzione integranda: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\left(\int xdx+\int\frac{-x}{x^{2}+1}dx\right) \] \[ \int […]
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Problema Max e Min di \( f(x,y) = \arctan(x^2 + 4y^2) \) con il vincolo \( g(x,y) = x^2 + y^2 – 4 = 0 \). Considerazioni \( f(x,y) \) è crescente in \( \mathbb{R} \). Dimostrazione \( x^2 + 4y^2 \leq x^2 + 4y^2 \Rightarrow \arctan(x^2 + 4y^2) = \arctan(x_1^2 + 4y_1^2) \) \( […]
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