indice dei polinomi

perche’ i polinomi definizione di polinomio grado di un polinomio polinomio ordinato polinomio completo somma fra polinomi differenza fra polinomi prodotto fra polinomiquoziente fra polinomi scomposizione di un polinomio in fattori M.C.D. fra polinomi m.c.m. fra polinomi

perche' i polinomi

Finora in classe sei partito dai numeri naturali \(N 1,2,3,..\) ed hai visto che su di essi si possono fare sempre solamente le operazioni di somma e prodotto, poi per poter fare anche la differenza sei passato ai numeri interi relativi \(Z ..-2,-1,0,+1,+2,..\) e su di essi hai definito le operazioni di somma, differenza e prodotto; infine, per poter fare anche il quoziente sei passato ai numeri razionali Q. Ora, secondo te, sono piu’ importanti i numeri o le operazioni? Evidentemente, se ho variato i numeri per poter fare le operazioni, saranno piu’ importanti le operazioni. Qual’e’ quindi il passo successivo? Costruire un insieme il piu’ ampio possibile in cui studiare le operazioni: ebbene questo insieme e’ quello dei polinomi. Ti avviso subito che studiare i polinomi purtroppo e’ abbastanza noioso, perche’ e’ come se ti mettessi a studiare un vocabolario, pero’ ne vale la pena: una volta che avrai studiato le proprieta’ di un’operazione queste resteranno sempre uguali per tutti gli enti matematici. Ti ho detto che l’insieme dei polinomi e’ l’insieme piu’ ampio su cui fare le operazioni, allora ora ti mostro che anche i numeri sono compresi nei polinomi consideriamo ad esempio il numero \(4657\) esso si puo’ pensare come 4 migliaia piu’ 6 centinaia piu’ 5 decine piu’ sette unita’ cioe’ 4×10³+6×10²+5×10¹+7×10° se ora al posto di 10 metto a ottengo un polinomio \(4a³+6a²+5a+7\) il numero 4×10³+6×10²+5×10¹+7×10° si dice scritto in forma polinomiale

esercizio: ricordando che \(10^{-1}=1/(10) e 10^{-2}=1/(10)^2\) trasforma prima in forma polinomiale e poi in polinomio (con a al posto di 10) il numero103456,78

definizione d polinomio

DEFINIZIONE DI POLINOMIO

Polinomio deriva anche lui dal greco e significa piu’ termini Quindi un polinomio e’ un insieme di piu’ monomi. i polinomi vengono classificati per il numero di termini irriducibili (cioe’ che non si possono piu’ sommare) \(2a^5+3b\) e’ un binomio \(a+1\) e’ un binomio \(2a^5+3b+2c\) e’ un trinomio \(2a+3b+4a\) e’ un binomio perche’\(2a+4a=6a\) e i termini diventano 2 \(2a^2+3b+4a+1\) e’ un quadrinomio Oltre 4 termini piuttosto che parlare di quinquinomio, esanomio,… si preferisce dire polinomio di 5 termini, di 6 termini,….

grado di un polinomio

Consideriamo ad esempio il polinomio \(2a^4+3a^6b-4a+5\) \(2a^4\) ha grado 4 \(+3a^6b\) ha grado 7 \(-4a\)ha grado 1 \(5\)ha grado 0 Il polinomio in totale ha grado 7: infatti prendiamo il grado dei monomi e scegliamo quello piu’ alto DEFINIZIONE: il grado di un polinomio e’ uguale al grado del suo monomio di grado piu’ alto

esempio: Qual’e’ il grado di \(a^3+3a^2b^2-4b^2\)? Il grado in generale e’ 4 rispetto alla lettera a e’ 3 rispetto alla lettera b e’ 2 rispetto alla lettera c e’ 0 (la lettera c non c’e’)

polinomio ordinato

Considera i 2 polinomi 1) \(a^3+b^3+c+ab\) 2) \(4a^3+6a^2+4a+5\) osserva i gradi dei monomi rispetto alla lettera a nel primo polinomio sono \(3 0 0 1\) nel secondo polinomio sono \(3 2 1 0\) il secondo polinomio dove i gradi sono in fila viene detto polinomio ordinato secondo la lettera a

esempi: \(a^3+a^2+ab+b\) il polinomio e’ ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera a \(a^3+2a^2b+5ab^2+6b^3\) il polinomio e’ ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera a e secondo le potenze crescenti della lettera b \(a+ab+5b^2+b^3-5b^4\) il polinomio e’ ordinato secondo le potenze crescenti della lettera b

attenzione: talvolta un polinomio puo’ essere ordinato senza sembrarlo; esempio: \(a^3+a+1\) non sembra ordinato ma se lo scrivo: \(a^3+0a^2+a+1\) (tanto lo 0 non cambia niente) allora e’ ordinato anche il polinomio \(1+a+ab^2+a^3+a^3bc\) non sembra ordinato, ma se lo scrivo \(1a+a(1+b^2)+0a^2+a^3(1+bc)\) allora diventa ordinato secondo le potenze crescenti della lettera a Per esercizio prova ad ordinarlo secondo le potenze crescenti della lettera b ordinalo infine rispetto alla lettera c

polinomio completo

Il polinomio \(a^3+a+1\) non sembra ordinato ma se lo scrivo: \(a^3+0a^2+a+1\) allora si vede che e’ ordinato Un polinomio che e’ ordinato e in cui vi siano tutti i termini (con coefficiente non nullo) tra il grado maggiore e 0 e’ completo (intuitivamente se e’ ordinato da solo senza aggiungere niente)

esempi: \(5a^3-7a^2+4a+1\)e’ completo \(5a^3-7a^2+4a\) non e’ completo (manca il termine a grado 0) Per esercizio scrivi un polinomio di almeno 6 termini che sia completo ed uno di 7 che non sia completo

numeri in forma polinomiale

Anche i numeri sono compresi nei polinomi: consideriamo ad esempio il numero \(4657\) esso si puo’ pensare come 4 migliaia piu’ 6 centinaia piu’ 5 decine piu’ sette unita’ cioe’ 4×10³+6×10²+5×10¹+7×10° se ora al posto di 10 metto a ottengo un polinomio \(4a³+6a²+5a+7\)

il numero 4×10³+6×10²+5×10¹+7×10° si dice scritto in forma polinomiale

somma fra polinomi

Come si fa la somma fra numeri? Sommi le unita’ con le unita’ (e se superi 9 riporti le decine) poi le decine con le decine, eccetera. Nei polinomi e’ piu’ facile, perche’ non c’e’ il riporto: devi far cadere le parentesi e poi sommare i termini simili come nei monomi. se hai bisogno di ripassare la somma fra monomi fai click qui esempio: \(5a^4 +6a^2-4a+2+(a^4-3a^3-2a^2+2a+5)=\) \(=5a^4 +6a^2-4a+2+a^4-3a^3-2a^2+2a+5=\)ora metto vicini i termini simili (di solito a scuola, senza raggrupparli, si sottolineano con simboli particolari) \(5a^4+a^4-3a^3 +6a^2-2a^2-4a+2a+2+5=\)sommo i termini simili \(=6a^4 -3a^3+4a^2-2a+7\) ricordati che i polinomi ordinati comprendono anche i numeri, quindi per fare l’addizione fra polinomi puoi mettere in colonna come con i numeri e qui non c’e’ bisogno di riportare! esempio: \(5a^4 +6a^2-4a+2+(a^4-3a^3-2a^2+2a+5)+(6a^3-4a^2+a-1)=\)\(5a^4 +6a^2 -4a +2 + a^4 -3a^3 -2a^2 +2a +5 + 6a^3 -4a^2 + a -1 = --------------------- 6a^4 +3a^3 - a +6\) poi scrivo il risultato \(=6a^4+3a^3-a+6\)

differenza fra polinomi

DIFFERENZA DI POLINOMI

Per fare la differenza fra polinomi occorre far cadere le parentesi ed eseguire la somma fra i monomi simili \(5a^4 +6a^2-4a+2-(a^4-3a^3-2a^2+2a+5)=\) \(=5a^4 +6a^2-4a+2-a^4+3a^3+2a^2-2a-5=\) ora metto vicini i termini simili (di solito a scuola, senza raggrupparli, si sottolineano con simboli particolari) \(5a^4-a^4+3a^3 +6a^2+2a^2-4a-2a+2-5=\) sommo i termini simili \(=4a^4 +3a^3+8a^2-6a-3\)

prodotto nei polinomi

Nei polinomi possiamo considerare vari tipi di prodotto:

prodotto fra un monomio ed un polinomio

prodotto fra due polinomi

prodotti notevoli

prodotto fra un polinomio ed un monomio

PRODOTTO FRA UN MONOMIO ED UN POLINOMIO

Per moltiplicare un monomio per un polinomio occorre ricordare il significato di parentesi: tutti i termini interni hanno lo stesso diritto rispetto all’operazine esterna; quindi bastera’ moltiplicare il monomio esterno per ogni termine del polinomio. esempio: \(-3a^3b (6a^2-4ab+5b^2)=\) faccio i calcoli parziali \((-3a^3b) \cdot (6a^2)= -18a^5b (-3a^3b) \cdot (-4ab)=+12a^4b^2 (-3a^3b) \cdot (5b^2)=-15a^3b^3\) quindi il risultato e’ \(=-18a^5b+12a^4b^2 -15a^3b^3\)

fai click qui se ti servono altri esercizi

Per esercizio prova ad inventare dei prodotti fra un monomio ed un polinomio di 3 termini, di 4 termini, di 5 termini.

Quando moltiplichi puoi moltiplicare il monomio per il polinomio oppure il polinomio per il monomio, il risultato e’ identico perche’ per la moltiplicazione vale la proprieta’ commutativa cioe’ 3×2=2×3

prodotto fra polinomi

PRODOTTO FRA DUE POLINOMI

Anche per fare il prodotto fra 2 polinomi occorre tener presente il concetto di parentesi: tutti i termini interni hanno lo stesso diritto rispetto all’operazione esterna; quindi bastera’ moltiplicare tutti i monomi del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio. Fai click qui per un esempio grafico esempio: \((3a-5b)(4a+3b)=\) faccio i calcoli parziali \((3a)(4a)=12a^2 (3a)(+3b)=+9ab (-5b)(4a)=-20ab (-5b)(3b)=-15b^2\) ora metto assieme i risultati parziali \(=12a^2+9ab-20ab-15b^2=\)da notare che sono 4 termini perche’ hai moltiplicato un binomio (2 termini) per un binomio (2 termini); quanti termini avresti avuto moltiplicando un trinomio per un quadrinomio? Ora sommiamo \(=12a^2-11ab-15b^2\) Se devi moltiplicare due polinomi ordinati con un numero elevato di termini conviene ricordare che per i polinomi ordinati posso moltiplicare in colonna come per i numeri: vediamo un esempio: moltiplichiamo un trinomio per un quadrinomio (a\(^{^3}\)+5a\(^{^2}\)-4a-1)(2a\(^{^2}\)-a+4)=

\(a^3+5a^2- 4a-1 2a^2- a+4 ------------------------ + 4a^3+20a^2-16a-4 - a^4- 5a^3+ 4a^2+ a - 2a^5+10a^4- 8a^3- 2a^2 - - ------------------------ 2a^5+ 9a^4- 9a^3+22a^2-15a-4\)

per altri esercizi svolti

attenzione: quando moltiplichi puoi moltiplicare il primo polinomio per il secondo oppure il secondo polinomio per il primo, il risultato e’ identico perche’ per la moltiplicazione vale la proprieta’ commutativa cioe’ 3×2=2×3 pero’ quando moltiplicheremo un polinomio per un altro polinomio noi moltiplicheremo sempre i termini del primo per i termini del secondo: troppe volte ho visto un alunno confondersi alla lavagna per non rispettare questa semplice regola

ESERCIZI SUL PRODOTTO FRA POLINOMI

Scegli l’esercizio che vuoi fare, per la soluzione fai click su soluzione \((5a^4-3a+2)(4a^2-ab)\)

(5a\(^{^3}\)+4a\(^{^2}\)-6ab\(^{^2}\)+7b\(^{^3}\))(2a\(^{^3}\) -3a\(^{^2}\)b+4ab\(^{^2}\)+b\(^{^3}\))

\((3xy+2xz-4yz)(x-2y^2+yz)\)

esercizi sul prodotto fra polinomi

\((5a^4-3a+2)(4a^2-ab)=\)

\(5a^4 \cdot 4a^2=20a^6 5a^4 \cdot (-ab)=-5a^5b (-3a) \cdot 4a^2=-12a^3 (-3a) \cdot (-ab)=+3a^2b (+2) \cdot 4a^2=+8a^2 (+2) \cdot (-ab)=-2ab\)\(=20a^6-5a^5b-12a^3+3a^2b+8a^2-2ab\) Non essendovi termini simili l’esercizio e’ terminato Di solito invece di fare i calcoli a parte si preferisce farli all’interno dell’esercizio nel seguente modo: \((5a^4-3a+2)(4a^2-ab)= =5a^4 \cdot 4a^2+5a^4 \cdot (-ab)+(-3a) \cdot 4a^2+(-3a) \cdot (-ab)+ (+2) \cdot 4a^2+(+2) \cdot (-ab)= = 20a^6-5a^5b-12a^3+3a^2b+8a^2-2ab\) d’ora in avanti faremo gli esercizi con quest’ultimo metodo

(5a\(^{^3}\)+4a\(^{^2}\)-6ab\(^{^2}\)+7b\(^{^3}\)) (2a\(^{^3}\) -3a\(^{^2}\)b +4ab\(^{^2}\) +b\(^{^3}\))= 5a\(^{^3}\)·2a\(^{^3}\)+5a\(^{^3}\)·(-3a\(^{^2}\)b) +5a\(^{^3}\)·4ab\(^{^2}\)+5a\(^{^3}\)·b\(^{^3}\)+ +4a\(^{^2}\)·2a\(^{^3}\)+4a\(^{^2}\)·(-3a\(^{^2}\)b)+4a\(^{^2}\)·4ab\(^{^2}\)+4a\(^{^2}\)·b\(^{^3}\)+ (-6ab\(^{^2}\))·2a\(^{^3}\) +(-6ab\(^{^2}\))·(-3a\(^{^2}\)b) +(-6ab\(^{^2}\))·4ab\(^{^2}\) +(-6ab\(^{^2}\))·b\(^{^3}\)+ + 7b\(^{^3}\)·2a\(^{^3}\) +7b\(^{^3}\)·(-3a\(^{^2}\)b) +7b\(^{^3}\)·4ab\(^{^2}\) +7b\(^{^3}\)·b\(^{^3}\)= ATTENZIONE: per andare a capo si ripete il segno che c’e’; fa eccezione il meno poiche’ meno per meno fa piu’, allora per andare a capo con il meno si scrive + e a capo si mette – \(=10a^6-15a^5b+20^4b^2+5a^3b^3+8a^5-12a^4b+16a^3b^2+4a^2b^3+ -12a^4b^2+18a^3b^3-24a^2b^4-6ab^5+14a^3b^3-21a^2b^4+28ab^5+7b^6=\)ora sommo i termini simili \(=10a^6-15a^5b +8a^4b^2+37a^3 b^3-45a^2b^4+ 22ab^5+7b^6+8a^5 -12a^4b + + 16a^3b^2+4a^2b^3.\)

Osserva questo schema

\[(3a - 5b)(4a + 3b)\]

devi moltiplicare il primo monomio della prima parentesi per il primo della seconda parentesi, poi il primo della prima parentesi per il secondo della seconda parentesi, poi il secondo della prima parentesi per il primo della seconda parentesi infine il secondo della prima parentesi per il secondo della seconda parentesi

prodotti notevoli

Perche’ servono i prodotti notevoli: I prodotti notevoli sono sempre la “Bestia Nera” degli studenti che non capiscono perche’ debbono faticare di piu’ per ottenere risultati che non sempre sembrano apprezzabili. Vedi, se noi facciamo sempre la stessa operazione ci stanchiamo e cerchiamo di abbreviare e di trovare delle regolarita’ che ci permettano di scrivere il risultato senza dover sempre eseguire tutte le operazioni; cioe’ possiamo generalizzare, e’ come in certi giochi dove si accumulano punti e ad un certo momento si sale ad un livello superiore: e’ il caso dei prodotti notevoli dove sali dal livello di operazioni fra lettere al livello di operazioni sulle operazioni (prodotti). E’ diciamo, il primo passo per capire che la matematica non e’ solo un insieme di operazioni e di numeri, noi possiamo anche fare delle operazioni sulle operazioni, operazioni sulle operazioni sulle operazioni ….. Troppo difficile? Non importa, vai avanti e vedrai che ti diventera’ chiaro in seguito

Si definiscono prodotti notevoli quei prodotti dove posso scrivere il risultato senza eseguire la moltiplicazione

Scegli il prodotto notevole che vuoi studiare

• Somma di due monomi per la loro differenza
• Quadrato del binomio
• Quadrato del trinomio
• Cubo del binomio
• Cubo del trinomio
• Potenza qualunque del binomio

somma di due monomi per la loro differenza

Proviamo a scrivere \((2a+3b)(2a-3b) = 2a \cdot 2a = 4a^2 2a \cdot (-3b) = -6ab 3b \cdot 2a = 6ab 3b \cdot (-3b) = -9b^2\) e siccome \(6ab-6ab\) si annullano otterremo = 4a\(^{^2}\) – 9b\(^{^2}\)

Proviamo a scrivere \((2x+4y)(2x-4y) = 2x \cdot 2x = 4x^2 2x \cdot (-4y) = -8xy 4y \cdot 2x = 8xy 4y \cdot (-4y) = -16y^2\) e siccome \(8xy-8xy\) si annullano otterremo = 4x\(^{^2}\) – 16y\(^{^2}\)

Proviamo ora a scrivere \((3a+5b)(3a-5b) = 3a \cdot 3a = 9a^2 3a \cdot (-5b) = -15ab 5b \cdot 3a = 15ab 5b \cdot (-5b) = -25b^2\) e siccome \(15ab-15ab\) si annullano otterremo = 9a\(^{^2}\) – 25b\(^{^2}\)

Non so tu, ma io mi sto stancando: se dovessi fare 50 operazioni come le precedenti mi annoierei a morte, allora e’ il caso di vedere se e’ possibile trovare qualche scorciatoia: hai notato che vengono sempre due termini che sommandosi vanno via? A cosa e’ dovuto? Evidentemente al fatto che i termini sono uguali e che i segni in mezzo ai monomi sono uno piu’ e l’altro meno; ma allora senza fare tutte le operazioni io posso fare il primo monomio per il primo ed il secondo monomio per il secondo tanto gli altri termini del prodotto vanno via!

Quindi se devo fare \((3x+4y)(3x-4y) =\) faro’ \(3x \cdot 3x = 9x^2 4y \cdot (-4y) = -16y^2\) e scrivero’ \(= 9x^2 -16y^2\) ora scriviamo la regola prendendo i monomi piu’ semplici possibili \((a+b)(a-b) = a^2-\)b\(^{^2}\) cioe’ la somma di due monomi per la loro differenza e’ uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio se hai bisogno di aiuto per leggere la regola fai click qui

Se hai bisogno di una spiegazione piu’ particolareggiata fai click qui

regola della somma di due monomi per la loro differenza

Il prodotto fra la somma di due monomi e la loro differenza e’ uguale alla differenza fra il quadrato del primo monomio ed il quadrato del secondo monomio

Proviamo a scrivere \((2a+3b)(2a-3b) 2a \cdot 2a = 4a^2 2a \cdot (-3b)=-6ab 3b \cdot 2a=6ab 3b \cdot (-3b)=-9b^2\) otterremo \(4a^2 -6ab+6ab-9b^2\) osserviamo che i due monomi interni sono uguali e di segno contrario, quindi si eliminano ed otteniamo \(4a^2 -9b^2\) I due monomi interni sono uguali e di segno contrario perche’ dentro entrambe le parentesi i primi monomi sono uguali mentre i secondi monomi sono una volta piu’ ed una volta meno (sono uguali ed opposti). Quindi quando vedi il prodotto fra due parentesi dove i primi monomi sono uguali ed i secondi sono uguali ma di segno contrario puoi abbreviare, tanto i due termini in mezzo andranno sempre via.

Proviamo con \((2x+4y)(2x-4y)\) sapresti scrivere il risultato senza fare tutte le operazioni? essendo i primi monomi uguali in entrambe le parentesi mentre i secondi sono uguali ma di segno contrario c’e’ da pensare che il prodotto tra \(2x\) e \(-4y\) e quello tra \(4y\) e \(2x\)andranno via ed allora bastera’ fare \(2x \cdot 2x = 4x^2 4y \cdot (-4y)=-16y^2\) ed otterremo 4x\(^{^2}\)-16y\(^{^2}\)

Da notare che hai eseguito delle operazioni (

il prodotto

) su delle operazioni(

somma e differenza

) quindi vedi che aumenta il livello su cui stai operando

quadrato del binomio

calcoliamo \((2a+3b) \cdot (2a+3b) 2a \cdot 2a = 4a^2 2a \cdot 3b=6ab 3b \cdot 2a=6ab 3b \cdot 3b=9b^2\) quindi \(4a^2+6ab+6ab+9b^2\) osserviamo che i due monomi interni sono uguali e (contrariamente a prima) con lo stesso segno quindi li debbo sommare ed ottengo \(4a^2+12ab+9b^2\) Quindi io posso moltiplicare il primo termine con il primo, poi il primo per il secondo e, siccome mi verrebbero due termini uguali, senza sommarli dopo faccio subito il risultato moltiplicando per 2, infine il secondo termine per il secondo

\(Osserviamo che invece di (2a+3b) \cdot (2a+3b) posso scrivere (2a + 3b)^2\)

Proviamo ora a scrivere \((2x+4y)^2=(2x+4y)(2x+4y) 2x \cdot 2x = 4x^2 2x \cdot 4y=8xy 4y \cdot 2x=8xy 4y \cdot 4y=16y^2\) quindi \(4x^2+16xy+16y^2\) e siccome \(8xy+8xy\) sono uguali e si sommano otterremo \(4x^2+16xy+16y^2\)

ora se ti dico di calcolare \((4a+3b)^2\) sapresti scrivere subito il risultato? Osserva i calcoli fatti prima: dovrai moltiplicare il primo monomio per se’ stesso \(4a \cdot 4a = 16a^2\) poi dovrai moltiplicare il primo monomio per il secondo e questo dovrai farlo due volte (cioe’ basta moltiplicare per 2) perche’ hai visto che vengono sempre due termini uguali che poi si sommano quindi 4a·3b·2=24ab poi dovrai moltiplicare il secondo monomio per se’ stesso cioe’ \(3b \cdot 3b=9b^2\) quindi \(16a^2+24ab+9b^2\)

Sembra una cosa stupida, vero? Fare tanta fatica per saltare un passaggio, ma non devi pensare in questi termini, devi pensare in termini di livelli: tu non stai piu’ lavorando sui numeri o sui monomi, stai lavorando sulle operazioni fra operazioni, cioe’ sei su un livello superiore e vedrai piu’ avanti che questi concetti possono portarti a fare operazioni molto piu’ complicate con pochi passaggi

Ora leggiamo la regola considerando i monomi piu’ semplici possibili \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) cioe’ Il quadrato di un binomio e’ uguale al quadrato del primo monomio piu’ il doppio del prodotto del primo per il secondo piu’ il quadrato del secondo Se hai bisogno di aiuto per leggere la regola fai click qui

Se la regola ti sembra difficile da ricordare fai click qui per vedere un semplice metodo mnemonico che di solito propongo ai miei alunni

E se ora ti chiedo di trovare \((a-b)^2=\) Bastera’ ricordare le regole dei segni quindi \(a \cdot a = a^2 a \cdot (-b) \cdot 2=-2ab (-b) \cdot (-b)=+b^2\) quindi \(a^2-2ab+b^2\) da notare che il segno meno resta solo nel doppio prodotto mentre i quadrati sono sempre positivi

Sapevi che i Greci gia’ 2000 anni fa conoscevano questa regola? E questo senza conoscere il calcolo letterale ma utilizzando semplicemente i segmenti; fai click qui per sapere come facevano

Se hai bisogno di altri esercizi fai click qui

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) Questa e’ la regola in linguaggio “matematico” per fare la traduzione devi seguire questa procedura: Per leggere la regola devi cominciare prima dell’uguale leggendo l’operazione che coinvolge tutti i termini ( il quadrato) poi devi dire fra chi e’ quest’operazione descrivendo il primo termine(di un binomio) a questo punto hai finito di leggere la prima parte e c’e’ l’uguale che si legge come un verbo ( e’ uguale a) ora devi leggere il secondo termine \(a^2+2ab+b^2\); leggi i termini in successione partendo dal primo termine e cominciando dalle operazioni (il quadrato)descrivendo fra chi e’ l’operazione (del primo monomio)proseguendo col secondo termine (piu’ il doppio del prodotto del primo per il secondo) e continuando con il terzo termine (piu’ il quadrato del secondo monomio) se metti assieme il tutto ottieni la regola Il quadrato di un binomio e’ uguale al quadrato del primo monomio piu’ il doppio del prodotto del primo termine per il secondo, piu’ il quadrato del secondo monomio

COME FACEVANO I GRECI A CALCOLARE IL QUADRATO DELLA SOMMA DI DUE ENTI

Semplice: i Greci lavoravano solo con la geometria, quindi invece dei monomi usavano i segmenti: osserva quest’ illustrazione:

Il diagramma mostra una rappresentazione geometrica dell’identità \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Un grande quadrato è suddiviso in quattro aree:
– un quadrato di lato \(a\) con area \(a^2\) (in basso a sinistra)
– un quadrato di lato \(b\) con area \(b^2\) (in alto a destra)
– due rettangoli di lati \(a\) e \(b\), ciascuno con area \(ab\) (uno in alto a sinistra e uno in basso a destra).

La somma delle aree delle quattro regioni è \(a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\), che è l’area totale del grande quadrato di lato \((a+b)\).

Il lato del quadrato grosso e’ ottenuto sommando i due segmenti a e b quindi vale a+b ed e’ composto da un quadrato di lato a, da un quadrato di lato b e da 2 rettangoli di area ab quindi \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) cioe’ Il quadrato di un binomio e’ uguale al quadrato del primo termine piu’ il doppio del prodotto del primo per il secondo piu’ il quadrato del secondo

regola del quadrato

metodo per ricordare la regola del quadrato

Osserva la seguente figura e dimmi cosa ti sembra

Un diagramma che rappresenta una faccina sorridente. Gli occhi sono due archi neri e la bocca è un arco nero più grande. Al centro della faccina è scritta in rosso la formula \((a+b)^2\).

Sembra una faccia che sorride: e’ il nostro binomio al quadrato con disegnate 2 sopracciglia ed una bocca il primo sopracciglio significa il primo monomio per se’ stesso a·a Il secondo sopracciglio significa il secondo monomio per se’ stesso b·b La bocca formata da 2 linee significa due volte il primo per il secondo 2·a·b semplice, no?

quadrato del trinomio

Abbiamo visto come trovare la regola

(cioe' si prendono i monomi piu' semplici possibili)

possiamo provare a trovare le regole per altri prodotti: quello che viene piu’ spontaneo e’ il quadrato quando invece di due termini ne abbiamo tre, cioe’ il quadrato del trinomio. Ora hai capito il meccanismo dei prodotti notevoli, quindi, senza fare la parte introduttiva,

(cioe' senza fare tutti i prodotti per trovare dei metodi per abbreviarli)

passiamo a trovare la regola finale

\((a+b+c)^2=(a+b+c) \cdot (a+b+c)=\)Se hai bisogno di vedere i passaggi fai click qui \(=a^2+b^2+c^2 +2ab+2ac+2bc\) Il quadrato di un trinomio e’ uguale al quadrato del primo monomio piu’ il quadrato del secondo monomio piu’ il quadrato del terzo piu’ il doppio del prodotto del primo monomio per il secondo, piu’ il doppio del prodotto del secondo monomio per il terzo piu’ il doppio del prodotto del primo monomio per il terzo Se hai bisogno di aiuto per leggere la regola fai click qui Allora ora prova a calcolare \((2a^2b-3ab^2+6)^2=\)Devi fare il quadrato del primo monomio: \((2a^2b)^2 =(2a^2b) \cdot (2a^2b)= 4a^4b^2\)poi il quadrato del secondo:\((-3ab^2)^2= (-3ab^2) \cdot (-3ab^2)=+9a^2b^4\) e il quadrato del terzo \(6^2=6 \cdot 6=36\) ora fai il primo per il secondo per due \(2a^2b \cdot (-3ab^2) \cdot 2= -12a^3b^3\) poi il secondo per il terzo per due \((-3ab^2) \cdot 6 \cdot 2=-36ab^2\) infine il primo per il terzo per due \(2a^2b \cdot 6 \cdot 2=24a^2b\) Meti ora assieme i risultati ed ottieni \(4a^4b^2 +9a^2b^4+36 -12a^3b^3 -36ab^2+ 24a^2b\) Abbastanza semplice vero? Comunque se per essere piu’ sicuro hai bisogno di altri esercizi fai click qui

\((a+b+c)^2=(a+b+c) \cdot (a+b+c)=\) devi moltiplicare ogni termine del primo monomio per ogni termine del secondo \(a \cdot a=a^2 a \cdot b =ab a \cdot c =ac b \cdot a =ab b \cdot b =b^2 b \cdot c =bc c \cdot a =ac c \cdot b =bc c \cdot c =c^2 =a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2=\) Ora raccolgo i termini simili e li sommo \(a^2\)c’e’ solo lui e lo lascio e cosi’ faccio anche per \(b^2\) e \(c^2\)poi \(ab+ab=2ab ac+ac=2ac bc+bc=2bc\) raccogliendo il tutto \(=a^2+b^2+c^2 +2ab+2ac+2bc\)

Regola del quadrato del trinomio

\((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2ab+2bc+2ac\) Questa e’ la regola in linguaggio “matematico” per fare la traduzione devi seguire questa procedura:

Per leggere la regola devi cominciare prima dell’uguale leggendo l’operazione che coinvolge tutti i termini (il quadrato) poi devi dire fra chi e’ quest’operazione descrivendo il primo termine(di un trinomio) a questo punto hai finito di leggere la prima parte e c’e’ l’uguale che si legge come un verbo (e’ uguale a) ora devi leggere il secondo termine \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac\) leggi i termini in successione partendo dal primo termine e cominciando dalle operazioni (il quadrato) descrivendo fra chi e’ l’operazione (del primo monomio) proseguendo col secondo termine (piu’ il quadrato del secondo) e continuando con il terzo termine (piu’ il quadrato del terzo monomio) ora il quarto (piu’ il doppio prodotto del primo monomio per il secondo) e il quinto (piu’ il doppio prodotto del secondo monomio per il terzo) infine l’ultimo termine(piu’ il doppio prodotto del primo per il terzo monomio)

se metti assieme il tutto ottieni la regola Il quadrato di un trinomio e’ uguale al quadrato del primo monomio piu’ il quadrato del secondo monomio piu’ il quadrato del terzo piu’ il doppio del prodotto del primo monomio per il secondo, piu’ il doppio del prodotto del secondo monomio per il terzo piu’ il doppio del prodotto del primo monomio per il terzo

cubo del binomio

Anche per il cubo troviamo la regola come abbiamo fatto per il prodotto notevole precedente: infatti basta che applichiamo l’operazione sul binomio piu’ semplice possibile e poi leggiamo il risultato: \((a+b)^3=(a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b)=\) ora so che \((a+b) \cdot (a+b)=a^2+2ab+b^2\) quindi dovro’ fare \(=(a^2+2ab+b^2) \cdot (a+b)= (se vuoi vedere i passaggi fai click qui ) =a^3 +a^2 b+2a^2 b+2ab^2 +ab^2 +b^3= =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3\) Quindi leggendo il primo e l’ultimo passaggio abbiamo la regola: \((a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3\)cioe’ Il cubo di un binomio e’ uguale al cubo del primo monomio piu’il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo, piu’ il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo,piu’ il cubo del secondo se hai bisogno di aiuto per leggere la regola fai click qui Ora vediamo su alcuni esempi come applicare questa regola: ad esempio supponiamo di dover eseguire \((2x+3y)^3\) al posto di aho \(2x\)ed al posto di b ho \(3y\) quindi nella regola quando ho il primo monomio metto \(2x\)e quando ho il secondo metto \(3y\) facciamolo assieme:

Il cubo di un binomio

\((2x+3y)^3\)

e' uguale

\(=\)

al cubo del primo monomio

\((2x)^3\)

piu' il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo

\(+3 \cdot (2x)^2 \cdot (3y)\)

piu' il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo

\(+3 \cdot (2x) \cdot (3y)^2\)

piu' il cubo del secondo

\(+(3y)^3\) quindi raccogliendo: \((2x+3y)^3= (2x)^3 +3 \cdot (2x)^2 \cdot (3y)+3 \cdot (2x) \cdot (3y)^2 +(3y)^3= =8x^3 +36x^2y +54xy^2 +27y^3\)se vuoi vedere i calcoli per esteso fai click qui

Vediamo ora come comportarci se invece che la somma abbiamo la differenza fra 2 monomi Lavoriamo su un esempio \((3x-2y)^3=\) Bastera’ considerare il segno meno non come operazione fra i due monomi ma come segno appartenente al secondo monomio \([3x+(-2y)]^3=\) allora il primo monomio e’ \(3x\) ed il secondo e’ \(-2y\) Quindi avremo \((3x)^3 +3 \cdot (3x)^2 \cdot (-2y)+3 \cdot (3x) \cdot (-2y)^2 +(-2y)^3= =27x^3 -54x^2y +36xy^2 -8y^3\)se vuoi vedere i calcoli per esteso fai click qui Da notare che i segni vengono alternati: il primo positivo, il secondo negativo, il terzo positivo ed il quarto negativo; cioe’ se non vuoi fare troppi conti puoi mettere al risultato i segni alternati partendo dal primo positivo.

passaggi del cubo del binomio

PASSAGGI PER CALCOLARE IL CUBO DEL BINOMIO

\((a+b)^3=(a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b)=\)moltiplico fra loro i primi due \(a \cdot a=a^2 a \cdot b=ab b \cdot a=ab b \cdot b=b^2\)e poiche’\(ab+ab=2ab\)otterro’\(=(a^2+2ab+b^2) \cdot (a+b)=\)Eseguo la moltiplicazione \(a^2 \cdot a=a^3 a^2 \cdot b=a^2b 2ab \cdot a=2a^2b 2ab \cdot b=2ab^2 b^2 \cdot a=ab^2 b^2 \cdot b=b^3 =a^3+a^2b+2a^2b +2ab^2+ab^2+b^3=\) ora sommo i termini simili \(a^2b+2a^2b=3a^2b 2ab^2+ab^2=3ab^2\) quindi = a\(^3\)+3a\(^2\)b+3ab\(^2\)+b\(^3\)

Regola del cubo del binomio

\((a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3\) Questa e’ la regola in linguaggio “matematico” per fare la traduzione devi seguire questa procedura: Per leggere la regola devi cominciare prima dell’uguale leggendo l’operazione che coinvolge tutti i termini (

il cubo

) poi devi dire fra chi e’ quest’operazione descrivendo il primo termine (

di un binomio

) a questo punto hai finito di leggere la prima parte e c’e’ l’uguale che si legge come un verbo (

e' uguale a

) ora devi leggere il secondo termine \(a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3\) leggi i termini in successione partendo dal primo termine e cominciando dalle operazioni (

il cubo

)descrivendo fra chi e’ l’operazione (

del primo monomio

)proseguendo col secondo termine (

piu' il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo

) e continuando con il terzo termine (

piu' il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo

) concludendo con l’ultimo termine(

piu' il cubo del secondo

) Raccogliendo Il cubo di un binomio e’ uguale al cubo del primo monomio piu’il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo, piu’ il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo,piu’ il cubo del secondo se hai qualche difficolta’ fai click qui

Attenzione!

Quando leggi \(+3a^2b\) ricordarti che sono sottointesi i segni dei prodotti cioe’ \(+3 \cdot a^2 \cdot b\) quindi se leggi in ordine ottieni piu’ 3 per il primo monomio al quadrato per il secondo monomio ossia piu’ il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo

Quando leggi \(+3ab^2\) ricordarti che sono sottointesi i segni dei prodotti cioe’ \(+3 \cdot a \cdot b^2\) quindi se leggi in ordine ottieni piu’ 3 per il primo monomio per il secondo monomio al quadrato ossia piu’ il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo

CALCOLI

\((2x+3y)^3= (2x)^3 +3 \cdot (2x)^2 \cdot (3y) +3 \cdot (2x) \cdot (3y)^2 +(3y)^3=\) Ora devi fare il cubo del primo termine \((2x) \cdot (2x) \cdot (2x)=8x^3\) Poi devi molti[plicare 3 per il quadrato del primo e quello che viene per il secondo: per farlo prima facciamo il quadrato poi calcoliamo i prodotti \(+3 \cdot (2x)^2 \cdot (3y)= +3 \cdot (4x^2) \cdot (3y)=+36x^2y\) poi devo moltiplicare 3 per il primo monomio e quello che viene per il quadrato del secondo, anche qui prima facciamo il quadrato poi le moltiplicazioni \(+3 \cdot (2x) \cdot (3y)^2= +3 \cdot (2x) \cdot (9y^2)=+54xy^2\) ora faccio il cubo del secondo \(+(3y)^3= +(3y) \cdot (3y) \cdot (3y)=+27y^3\) Raccogliendo il tutto \(= 8x^3 +36x^2y +54xy^2 +27y^3\)

Segni alternati

PERCHE” I SEGNI VENGONO ALTERNATI

Quando fai un elevamento a potenza di un binomio pensa a che potenze ha il secondo monomio: nel primo termine del risultato non c’e’ quindi e’ come se avesse potenza 0, nel secondo termine ha potenza 1, nel terzo termine ha potenza 2, nel quarto termine ha potenza 3 e quando una potenza e’ pari(0,2,4,6,..) il risultato e’ positivo, mentre quando la potenza e’ dispari(1,3,5,7,..) il risultato ha lo stesso segno del secondo monomio quindi i segni dei termini del risultato, ad esempio, di \((3x-2y)^3\) saranno : + il primo – il secondo + il terzo – il quarto e questa regola e’ generale cioe’ vale per tutte le potenze del binomio

Calcoli

\((3x-2y)^3= (3x)^3 +3 \cdot (3x)^2 \cdot (-2y) +3 \cdot (3x) \cdot (-2y)^2 +(-2y)^3=\) Ora devi fare il cubo del primo termine \((3x) \cdot (3x) \cdot (3x)=27x^3\) Poi devi molti[plicare 3 per il quadrato del primo e quello che viene per il secondo: per farlo prima facciamo il quadrato poi calcoliamo i prodotti \(+3 \cdot (3x)^2 \cdot (-2y)= +3 \cdot (9x^2) \cdot (-2y)= -54x^2y\) poi devo moltiplicare 3 per il primo monomio e quello che viene per il quadrato del secondo, anche qui prima facciamo il quadrato poi le moltiplicazioni \(+3 \cdot (3x) \cdot (-2y)^2= +3 \cdot (3x) \cdot (+4y^2)= +36xy^2\) ora faccio il cubo del secondo \(+(-2y)^3=+(-2y) \cdot (-2y) \cdot (-2y)=-8y^3\) Raccogliendo il tutto \(= 27x^3 -54x^2y +36xy^2 -8y^3\)

cubo del trinomio

QUESTO ARGOMENTO DI SOLITO VIENE TRATTATO SOLAMENTE NEI LICEI SCIENTIFICI ED IN QUALCHE ISTITUTO TECNICO

Si tratta di trovare la regola che permette di scrivere il risultato di \((a+b+c)^3=\)al solito faremo i calcoli per trovare il risultato e poi lo useremo per tutti i trinomi (a+b+c)·(a+b+c)·(a+b+c)= ora so che \((a+b+c) \cdot (a+b+c)=a^2 +b^2+c^2 +2ab+2ac+2bc\) quindi dovro’ fare =(a\(^2\) +b\(^2\)+c\(^2\) +2ab+2ac+2bc)·(a+b+c)= (se vuoi vedere i passaggi fai click qui ) =a\(^3\) +a\(^2\)b +a\(^2\)c +ab\(^2\) +b\(^3\) +b\(^2\)c +ac\(^3\) +bc\(^2\) +c\(^3\) +2a\(^2\)b +2ab\(^2\) +2abc +2a\(^2\)c +2abc +2ac\(^2\) +2abc +2b\(^2\)c +2bc\(^2\)= =a\(^3\) +b\(^3\) +c\(^3\) +3a\(^2\)b +3a\(^2\)c +3ab\(^2\) +3ac\(^2\) +3b\(^2\)c +3bc\(^2\) +6abc Quindi leggendo il primo e l’ultimo passaggio abbiamo la regola: \((a+b+c)^3 =a^3 +b^3 +c^3 +3a^2b +3a^2c +3ab^2 +3ac^2 +3b^2c +3bc^2 +6abc\)cioe’ Il cubo di un trinomio e’ uguale al cubo del primo monomio piu’ il cubo del secondo piu’ il cubo del terzo piu’il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo,piu’ il triplo prodotto del quadrato del primo per il terzo, piu’ il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo,piu’il triplo prodotto del primo per il quadrato del terzo, piu’ il triplo prodotto del quadrato del secondo per il terzo piu’ il triplo prodotto del secondo per il quadrato del terzo, piu’ sei volte il prodotto del primo per il secondo per il terzo. Piuttosto complicato, vero? Quasi quasi conviene farsi i calcoli ogni volta

passaggi

Calcoliamo \((a+b+c)^3=\) la potenza 3 significa il moltiplicare la base 3 volte per se’ stessa =(a+b+c)·(a+b+c)·(a+b+c)= moltiplichiamo il primo fattore per il secondo, anzi ricordiamoci che l’abbiamo gia’ fatto perche’ e’ il quadrato di un trinomio e quindi sappiamo che vale \((a+b+c)^2= (a+b+c) \cdot (a+b+c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\) quindi posso scrivere \(=(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) \cdot (a+b+c)=\) ora moltiplico termine a termine il primo polinomio per il secondo: siccome sono 6 termini per 3 termini otterro’ 18 termini, quindi capisci che devi procedere con calma perche’ e’ molto facile sbagliarsi \(Moltiplico il primo termine a^2 per (a+b+c)\) a\(^{^2}\)· a = a\(^{^3}\) a\(^{^2}\)·b = a\(^{^2}\)b a\(^{^2}\)·c = a\(^{^2}\)c\(Moltiplico il secondo termine b^2 per (a+b+c)\) b\(^{^2}\)· a = ab\(^{^2}\) b\(^{^2}\)·b = b\(^{^3}\) 2\(^{^2}\)·c = b\(^{^2}\)c\(Moltiplico il terzo termine c^2 per (a+b+c)\) c\(^{^2}\)· a = ac\(^{^2}\) c\(^{^2}\)·b = bc\(^{^2}\) c\(^{^2}\)·c = c\(^{^3}\)Moltiplico il quarto termine 2ab per (a+b+c) 2ab· a = 2a\(^{^2}\)b 2ab·b = 2ab\(^{^2}\) 2ab·c = 2abcMoltiplico il quinto termine 2ac per (a+b+c) 2ac· a = 2a\(^{^2}\)c 2ac·b = 2abc 2ac·c = 2ac\(^{^2}\)Moltiplico il sesto termine 2bc per (a+b+c) 2bc· a = 2abc 2bc·b = 2b\(^{^2}\)c 2bc·c = 2bc\(^{^2}\) Ora li scrivo in fila \(= a^3 + a^2b + a^2c + ab^2 + b^3 + b^2c + ac^2 + bc^2 + c^3 + 2a^2b + 2ab^2 + 2abc + 2a^2c + 2abc + 2ac^2 + 2abc + 2b^2c + 2bc^2 =\) adesso sommo tra loro i termini simili, cioe’ \(a^2b + 2a^2b = 3a^2b a^2c + 2a^2c = 3a^2c ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2 b^2c + 2b^2c = 3b^2c ac^2 + 2ac^2 = 3ac^2 bc^2 + 2bc^2 = 3bc^2 2abc + 2abc +2abc= 6abc\) ora li scrivo ordinandoli secondo le potenze (prima la potenza piu’ alta ) e poi secondo le lettere cioe’ a viene prima di b e 3b\(^{^2}\)c viene prima di 3bc\(^{^2}\)) \(= a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc\)

potenza del binomio

Se io ora ti chiedessi di calcolare \((a+b)^4=\) evidentemente basterebbe fare =(a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b) e poi giu’ a fare tanti calcoli fino a trovare la formula finale; e se volessi fare \((a+b)^7=\) sai quanti calcoli dovro’ fare! pero’ se invece di annoiarci a fare i calcoli osserviamo bene ed usiamo il cervello forse possiamo trovare subito il risultato finale senza eseguire le operazioni. Possiamo utilizzare due metodi:

Metodo di Tartaglia

Regola di Newton

metodo di Tartaglia

METODO DI TARTAGLIA PER CALCOLARE LA POTENZA DI UN BINOMIO

Proviamo a scrivere le potenze del binomio che conosciamo \((a+b) = 1 (a+b)^1 = a + b (a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2 (a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3\) Possiamo subito osservare che tutti i risultati sono polinomi ordinati secondo la potenza decrescente della lettera a e secondo la potenza crescente della lettera b, sono anche completi ed infine la potenza del primo termine corrisponde alla potenza del binomio; quindi se devo calcolare \((a+b)^4=\) per la parte letterale (senza mettere i coefficienti numerici) dovro’ fare \(a^4+ a^3b+ a^2b^2+ ab^3+ b^4\) ora come trovare i coefficienti numerici? Proviamo a scrivere quelli che abbiamo \((a+b)= 1 (a+b)^1= 1 1 (a+b)^2= 1 2 1 (a+b)^3= 1 3 3 1\) I numeri sono distribuiti su di un triangolo ( Triangolo di Tartaglia) ed ogni numero sotto e’ somma dei 2 numeri sopra (se sono in due) oppure vale 1; quindi si puo’ pensare che se devo fare \((a+b)^4=\) i numeri saranno \((a+b)= 1 (a+b)^1= 1 1 (a+b)^2= 1 2 1 (a+b)^3= 1 3 3 1 (a+b)^4= 1 4 6 4 1\) (Fai click qui se hai bisogno di ulteriori spiegazioni) Quindi avrai \((a+b)^4= a^4+ 4a^3b+ 6a^2b^2+ 4ab^3+ b^4\) Per vedere se hai capito bene fai da solo \((a+b)^5=\) e quando hai finito confronta il risultato

Come utilizzare queste regole? Facciamo un esempio: se devo calcolare \((2x+3y)^4=\) so che la regola vale \((a+b)^4= a^4+ 4a^3b+ 6a^2b^2+ 4ab^3+ b^4\) al posto di a ho \(2x\) ed al posto di b ho \(3y\) quindi vado a sostituire \((2x+3y)^4= (2x)^4+ 4(2x)^3(3y)+ 6(2x)^2(3y)^2+ 4(2x)(3y)^3+ (3y)^4=\) ed eseguendo i calcoli: \(=16x^4+ 96x^3y +216x^2y^2 +216xy^3 +81y^4\)se hai bisogno di vedere i calcoli fai click qui

Fai i seguenti esercizi poi confronta con quelli che ho sviluppato io (x-2y)\(^4\)= (2x+y)\(^5\)= (3x-y)\(^5\)= (2a\(^2\)-3b)\(^5\)= (x-2y)\(^6\)= (2x\(^2\)+y\(^3\))\(^6\)=

CALCOLIAMO

I numeri sotto sono la somma dei 2 numeri sopra oppure, se sopra c’e’ un solo numero valgono 1 infatti: \((a+b)= 1 (a+b)^1= 1 1 (a+b)^2= 1 1+1 1\) per la riga successiva \((a+b)= 1 (a+b)^1= 1 1 (a+b)^2= 1 2 1 (a+b)^3= 1 1+2 2+1 1\) e cosi’ via di seguito \((a+b)= 1 (a+b)^1= 1 1 (a+b)^2= 1 2 1 (a+b)^3= 1 3 3 1 (a+b)^4= 1 1+3 3+3 3+1 1\)

calcolo dei termini del triangolo

CALCOLO DEI TERMINI DEL TRIANGOLO DI TARTAGLIA

Considerando le potenze che hai gia’ calcolato hai i seguenti valori \((a+b)= 1 (a+b)^1= 1 1 (a+b)^2= 1 2 1 (a+b)^3= 1 3 3 1\) per calcolare i termini successivi basta fare \((a+b)= 1 (a+b)^1= 1 1 (a+b)^2= 1 2 1 (a+b)^3= 1 3 3 1 (a+b)^4= 1 1+3 3+3 3+1 1\) cioe’ \((a+b)= 1 (a+b)^1= 1 1 (a+b)^2= 1 2 1 (a+b)^3= 1 3 3 1 (a+b)^4= 1 4 6 4 1\) Proseguendo avro’ (a+b)= 1 (a+b)\(^1\)= 1 1 (a+b)\(^2\)= 1 2 1 (a+b)\(^3\)= 1 3 3 1 (a+b)\(^4\)= 1 4 6 4 1 (a+b)\(^5\)= 1 1+4 4+6 6+4 4+1 1 cioe’ (a+b)= 1 (a+b)\(^1\)= 1 1 (a+b)\(^2\)= 1 2 1 (a+b)\(^3\)= 1 3 3 1 (a+b)\(^4\)= 1 4 6 4 1 (a+b)\(^5\)= 1 5 10 10 5 1 Se vuoi vedere altre potenze vai al triangolo di Tartaglia

\[(a+b)^5\]

Devo calcolare \((a+b)^5=\) Le potenze della parte letterale saranno \(a^5+ a^4b+ a^3b^2+ a^2b^3+ ab^4+ b^5\) Ora devo mettere i coefficienti numerici partendo dagli ultimi che ho trovato \((a+b)= 1 (a+b)^1= 1 1 (a+b)^2= 1 2 1 (a+b)^3= 1 3 3 1 (a+b)^4= 1 4 6 4 1\) Scrivero’ i numeri in mezzo sommando i due numeri che sono sopra e se sono all’inizio o alla fine metto solo 1 (a+b)= 1 (a+b)\(^1\)= 1 1 (a+b)\(^2\)= 1 2 1 (a+b)\(^3\)= 1 3 3 1 (a+b)\(^4\)= 1 4 6 4 1 (a+b)\(^5\)= 1 1+4 4+6 6+4 4+1 1 cioe’ (a+b)= 1 (a+b)\(^1\)= 1 1 (a+b)\(^2\)= 1 2 1 (a+b)\(^3\)= 1 3 3 1 (a+b)\(^4\)= 1 4 6 4 1 (a+b)\(^5\)= 1 5 10 10 5 1 Ora metto questi numeri come coefficienti alla parte letterale trovata prima \(a^5+ 5a^4b+ 10a^3b^2+ 10a^2b^3+ 5ab^4+ b^5\) Scrivo la formula finale \((a+b)^5= a^5+ 5a^4b+ 10a^3b^2+ 10a^2b^3+ 5ab^4+ b^5\)

CALCOLI

\((2x+3y)^4= (2x)^4+ 4(2x)^3(3y)+ 6(2x)^2(3y)^2+ 4(2x)(3y)^3+ (3y)^4=\) ora prima calcolo le potenze poi faccio i prodotti \(=(16x^4)+ 4(8x^3)(3y)+ 6(4x^2)(9y^2)+ 4(2x)(27y^3)+ (81y)^4=\) Quindi ottengo \(=16x^4+ 96x^3y +216x^2y^2 +216xy^3 +81y^4\)

Esercizio

Calcolare la seguente potenza (x-2y)\(^4\)=

so che vale la regola \((a+b)^4= a^4+ 4a^3b+ 6a^2b^2+ 4ab^3 + b^4\) al posto di a ho x ed al posto di b ho \(-2y\) quindi vado a sostituire nella regola

\([x+(-2y)]^4 = (x-2y)^4 = x^4+ 4x^3(-2y)+ 6x^2(-2y)^2+ 4x(-2y)^3+ (-2y)^4 = = x^4+ 4x^3(-2y)+ 6x^2(+4y^2)+ 4x(-8y^3)+ (+ 16y^4) = = x^4 - 8x^3y+ 24x^2y^2 - 32xy^3+ 16y^4\) quindi \((x-2y)^4 = x^4 - 8x^3y+ 24x^2y^2 - 32xy^3+ 16y^4\)

Esercizio

Calcolare la seguente potenza (2x+y)\(^5\) =

Prima di tutto so che le parti letterali saranno \(a^5, a^4b, a^3b^2, a^2b^3, a b^4, b^5\) so, dal triangolo di Tartaglia che i coefficienti sono 1, 5, 10, 10, 5, 1 quindi vale la regola \((a+b)^5= a^5+ 5a^4b+ 10a^3b^2+ 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\) al posto di a ho \(2x\) ed al posto di b ho y quindi vado a sostituire nella regola

\((2x+y)^5 = (2x)^5+ 5(2x)^4(y)+ 10(2x)^3(y)^2+ 10(2x)^2(y)^3+ 5(2x)(y)^4+ (y)^5 = = 32x^5+ 5 \cdot 16x^4(y)+ 10 \cdot 8x^3(y^2)+ 10 \cdot 4x^2(y^3)+ 5 \cdot 2x(y^4)+ y^5 = = 32x^5 + 80x^4y+ 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4+ y^5\) quindi \((2x+y)^5 = 32x^5 + 80x^4y+ 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4+ y^5\)

Esercizio

Calcolare la seguente potenza (3x-y)\(^5\) =

So che le parti letterali sono \(a^5, a^4b, a^3b^2, a^2b^3, a b^4, b^5\) so, dal triangolo di Tartaglia che i coefficienti sono 1, 5, 10, 10, 5, 1 quindi vale la regola \((a+b)^5= a^5+ 5a^4b+ 10a^3b^2+ 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\) al posto di a ho \(3x\) ed al posto di b ho \(-y\) quindi vado a sostituire nella regola

(3x-y)\(^5\) = [3x+(-y)]\(^5\) = (3x)\(^5\)+ 5(3x)\(^4\)(-y)+ 10(3x)\(^3\)(-y)\(^2\)+ 10(3x)\(^2\)(-y)\(^3\)+ 5(3x)(-y)\(^4\)+ (-y)\(^5\) = = 243x\(^5\)+ 5·81x\(^4\)(-y)+ 10·27x\(^3\)(+y\(^2\))+ 10·9x\(^2\)(-y\(^3\))+ 5·3x(+y\(^4\))+ (-y\(^5\)) = \(= 243x^5 - 405x^4y+ 270x^3y^2 - 90x^2y^3 + 15xy^4 - y^5\) quindi \((2x+y)^5 = 243x^5 - 405x^4y+ 270x^3y^2 - 90x^2y^3 + 15xy^4 - y^5\)

Esercizio

Calcolare la seguente potenza (2a\(^2\)-3b)\(^5\) =

So che le parti letterali sono \(a^5, a^4b, a^3b^2, a^2b^3, a b^4, b^5\) so, dal triangolo di Tartaglia che i coefficienti sono 1, 5, 10, 10, 5, 1 quindi vale la regola \((a+b)^5= a^5+ 5a^4b+ 10a^3b^2+ 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\) adesso devi stare attento a non fare confusione fra la a e la b della regola ed il 2a\(^{^2}\) ed il -3b dell’esercizio, per non sbagliare metto (2a\(^{^2}\)) e (-3b) con le parentesi (quando hai imparato bene fallo solo mentalmente) al posto di a ho \((2a^2)\) ed al posto di b ho \((-3b)\) quindi vado a sostituire nella regola

(2a\(^2\) -3b)\(^5\) = [(2a\(^2\))+(-3b)]\(^5\) = (2a\(^2\))\(^5\)+ 5(2a\(^2\))\(^4\)(-3b)+ 10(2a\(^2\))\(^3\)(-3b)\(^2\)+ 10(2a\(^2\))\(^2\)(-3b)\(^3\)+ 5(2a\(^2\))(-3b)\(^4\)+ (-3b)\(^5\) = = 32a\(^{10}\)+ 5·16a\(^8\)(-3b)+ 10·8a\(^6\)(+9b\(^2\))+ 10·4a\(^4\)(-27b\(^3\))+ 5·2a\(^2\)(+81b\(^4\))+ (-243b\(^5\)) = \(= 32a^{10} - 240a^8b + 720a^6b^2 - 1080a^4b^3 + 810a^2b^4 - 243b^5\) quindi \((2a^5-3b)^5 = 32a^{10} - 240a^8b + 720a^6b^2 - 1080a^4b^3 + 810a^2b^4 - 243b^5\)

Esercizio

Calcolare la seguente potenza (x – 2y)\(^6\) =

Per la regola: so che le parti letterali sono \(a^6, a^5b, a^4b^2, a^3b^3, a^4b^2, ab^5, b^6\) so, dal triangolo di Tartaglia che i coefficienti sono 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 quindi vale la regola \((a+b)^6= a^6+ 6a^5b+ 15a^4b^2+ 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6\) al posto di a ho x ed al posto di b ho \(-2y\) quindi vado a sostituire nella regola

(x-2y)\(^6\) = [x+(-2y)]\(^6\) = (x)\(^6\)+ 6(x)\(^5\)(-2y)+ 15(x)\(^4\)(-2y)\(^2\)+ 20(x)\(^3\)(-2y)\(^3\)+ 15(x)\(^2\)(-2y)\(^4\)+ 6(x)(-2y)\(^5\)+ (-2y)\(^6\) = = x\(^6\)+ 6 x\(^5\)(-2y)+ 15 x\(^4\)(+4y\(^2\))+ 20 x\(^3\)(-8y\(^3\))+ 15 x\(^2\)(+16y\(^4\))+ 6 x(-32y\(^5\))+(+64y\(^6\)) = \(= x^6 - 12x^5y+ 60x^4y^2 - 160x^3y^3 + 240x^2y^4 - 192xy^5 + 64y^6\) quindi \((x-2y)^6 = x^6 - 12x^5y+ 60x^4y^2 - 160x^3y^3 + 240x^2y^4 - 192xy^5 + 64y^6\)

Esercizio

Calcolare la seguente potenza (2x\(^2\) + y\(^3\))\(^6\) =

Per la regola: so che le parti letterali sono \(a^6, a^5b, a^4b^2, a^3b^3, a^4b^2, ab^5, b^6\) so, dal triangolo di Tartaglia che i coefficienti sono 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 quindi vale la regola \((a+b)^6= a^6+ 6a^5b+ 15a^4b^2+ 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6\) al posto di a ho \(2x^2\) ed al posto di b ho \(y^3\) quindi vado a sostituire nella regola

(2x\(^2\)+ y\(^3\))\(^6\) = (2x\(^2\))\(^6\)+ 6(2x\(^2\))\(^5\)(y\(^3\))+ 15(2x\(^2\))\(^4\)(y\(^3\))\(^2\)+ 20(2x\(^2\))\(^3\)(y\(^3\))\(^3\)+ 15(2x\(^2\))\(^2\)(y\(^3\))\(^4\)+ 6(2x\(^2\))(y\(^3\))\(^5\)+ (y\(^3\))\(^6\) = = 64x\(^{12}\)+ 6·32x\(^{10}\)(y\(^3\))+ 15·16x\(^8\)(y\(^6\))+ 20·8x\(^6\)(y\(^9\))+ 15·4x\(^4\)(y\(^{12}\))+ 6·2x\(^2\)(y\(^{15}\))+ y\(^{18}\) = \(= 64x^{12} + 192x^{10}y^3 + 240x^8y^6 + 160x^6y^9 + 60x^4y^{12} + 12x^2y^{15} + y^{18}\) quindi \((2x^2+y^3)^6 = 64x^{12} + 192x^{10}y^3 + 240x^8y^6 + 160x^6y^9 + 60x^4y^{12} + 12x^2y^{15} + y^{18}\)

triangolo di Tartaglia

Il triangolo di Tartaglia 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

regola di Newton

Se ora volessimo calcolare \((a+b)^8 =\) potremmo sempre calcolarlo in ordine facendo tutte le potenze precedenti, ma pensa che noia se dovessi calcolare ad esempio \((a+b)^{20} =\) ci vorrebbero ore! Un grande Matematico Newton ha trovato il modo per calcolare la potenza senza calcolare tutte le potenze precedenti: il metodo e’ un po’ laborioso ma, visto il tempo che ci fa risparmiare, ne vale certo la pena. Vediamolo assieme, passaggio per passaggio, sei pronto? Proviamo a calcolare \((a+b)^8 =\) Prima di tutto osserviamo che il primo termine del risultato sara’ \(1a^8\) per il secondo termine consideriamo il primo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del primo termine \(1\) e l’esponente della potenza di a nel primo termine \(8\) e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato essendo il primo termine devo dividere per \(1\) il risultato e’ (1·8)/1=8 allora il secondo termine sara’ \(8a^7b\) proseguendo faccio sempre lo stesso: per il terzo termine consideriamo il secondo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del secondo termine \(8\) e l’esponente della potenza di a nel secondo termine \(7\) e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato essendo il secondo termine devo dividere per \(2\) il risultato e’ (8·7)/2=28 allora il terzo termine sara’ \(28a^6b^2\) per il quarto termine consideriamo il terzo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del terzo termine \(28\) e l’esponente della potenza di a nel terzo termine \(6\) e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato essendo il terzo termine devo dividere per \(3\) il risultato e’ (28·6)/3=56 allora il quarto termine sara’ \(56a^5b^3\) per il quinto termine consideriamo il quarto termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del quarto termine \(56\) e l’esponente della potenza di a nel quarto termine \(5\) e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato essendo il quarto termine devo dividere per \(4\) il risultato e’ (56·5)/4=70 allora il quinto termine sara’ \(70a^4b^4\) per il sesto termine consideriamo il quinto termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del quinto termine \(70\) e l’esponente della potenza di a nel quinto termine \(4\) e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato essendo il quinto termine devo dividere per \(5\) il risultato e’ (70·4)/5=56 allora il sesto termine sara’ \(56a^3b^5\) per il settimo termine consideriamo il sesto termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del sesto termine \(56\) e l’esponente della potenza di a nel sesto termine \(3\) e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato essendo il sesto termine devo dividere per \(6\) il risultato e’ (56·3)/6=28 allora il settimo termine sara’ \(28a^2b^6\) per l’ottavo termine consideriamo il settimo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del settimo termine \(28\) e l’esponente della potenza di a nel settimo termine \(2\) e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato essendo il settimo termine devo dividere per \(7\) il risultato e’ (28·2)/7=8 allora l’ottavo termine sara’ \(8a^1b^7\) per il nono termine consideriamo l’ottavo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del settimo termine \(8\) e l’esponente della potenza di a nell’ottavo termine \(1\) e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato essendo l’ottavo termine devo dividere per \(8\) il risultato e’ (8·1)/8=1 allora il nono termine sara’ \(1ab^8=b^8\) e non posso piu’ proseguire.

Difficile? forse no, ma complicato si’ ed anche molto, consoliamoci pensando che per calcolare \((a+b)^8 = a^8+8a^7b+ 28a^6b^2+ 56a^5b^3+ 70a^4b^4+ 56a^3b^5+ 28a^2b^6+ 8ab^7+ b^8\) avrei dovuto fare \((a+b)^7= (a+b)^6= (a+b)^5=\) eccetera eccetera

divisione fra due polinomi

DIVISIONE FRA 2 POLINOMI

Per la divisione fra due polinomi possono essere usati due metodi diversi: uno piu’ veloce (il metodo di Ruffini, ma puo’ essere usato solo in alcuni casi) ed uno piu’ complicato (il metodo canonico che puo’ essere usato per tutti i polinomi ordinati) Inoltre ho messo qui un teorema che ti permette di trovare il resto senza fare la divisione Scegli il metodo che vuoi studiare

• Metodo Canonico
• Metodo di Ruffini
• Teorema di Ruffini

divisione fra polinomi

DIVISIONE NEI POLINOMI

Divisione fra un polinomio ed un monomio Divisione fra 2 polinomi

DIVISIONE FRA UN POLINOMIO ED UN MONOMIO

Per eseguire la divisione fra un polinomio ed un monomio basta ricordare il significato delle parentesi: Tutti i termini dentro parentesi hanno gli stessi diritti, quindi tutti devono essere divisi per il monomio fuori \((-18a^{^5}b +12a^4b^2 -15a^3b^3) :(-3a^3b)=\) Quindi dovro’ fare \(-18a^5b :(-3a^3b)= +6a^2 +12a^4b^2 :(-3a^3b)=-4ab -15a^3b^3 : (-3a^3b)=+5b^2\) Raccogliendo \(=6a^2-4ab+5b^2\) Se vuoi vedere i calcoli nei particolari fai click qui

Calcoli

devo eseguire \((-18a^5b +12a^4b^2 -15a^3b^3) :(-3a^3b)=\)

\(-18a^5b :(-3a^3b)=\) devo fare segno con segno – · – = + poi numero con numero \(18:3=6\) quindi lettere con lettere \(a^5:a^3= a^2\)\(b:b=b=1\) (questo non lo scrivo) raccogliendo =+6a\(^2\)

+12a\(^4\)b\(^2\) :(-3a\(^3\)b)= devo fare segno con segno +·-=- poi numero con numero \(12:3=4\) quindi lettere con lettere \(a^4:a^3= a\)\(b^2:b=b\) raccogliendo =-4ab

-15a\(^3\)b\(^3\) : (-3a\(^3\)b)= devo fare segno con segno -·-=+ poi numero con numero \(15:3=5\) quindi lettere con lettere \(a^3:a^3= a=1\)(questo non lo scrivo) \(b^3:b= b^2\) raccogliendo \(=+5b^2\)

Raccogliendo il tutto \(=6a^2-4ab+5b^2\)

divisione fra polinomi: metodo canonico

DIVISIONE FRA POLINOMI METODO CANONICO

In matematica per poter procedere quando abbiamo un nuovo argomento possiamo usare due metodi diversi: Il primo consiste nel rifarsi a qualcosa di gia’ fatto simile a cio’ che si vuol fare Il secondo nell’usare il buon senso ed usare le regole piu’ “logiche” Non e’ troppo chiaro? Forse questo aneddoto potra’ farti capire meglio Ora noi sappiamo gia’ fare la divisione fra numeri naturali, quindi per fare la divisione fra polinomi ci rifaremo a quella che sappiamo gia’ fare: Ad esempio se devo fare 256:12 come procedo?

\(2\) \(5\) \(6\) \(1\) \(2\)

\(2\) \(4\) \(2\) \(1\)

\(//\) \(1\) \(6\)

\(1\) \(2\)

\(//\) \(4\)

Il 12 nel 25 ci sta 2 volte, scrivo il 2 nel risultato poi faccio 2 per 12 = 24 e lo riporto sotto il 25. Sottraggo 24 da 25 e scrivo 1, riporto il 6 e ricomincio da capo Il 12 nel 16 ci sta 1 volta, scrivo 1 nel risultato poi moltiplico 1 per 12 = 12 e lo riporto sotto il 16. Sottraggo 12 da 16 e scrivo 4. Poiche’ non posso riportare piu’ termini questo e’ il resto. Quindi posso scrivere 256 : 12 da’ 21 con resto di 4 o meglio, in forma di uguaglianza 256 = 12 · 21 + 4 Nei polinomi faremo nello stesso modo: proviamo ad esempio ad eseguire la seguente divisione: \((2x²+5x+6):(x+2)\) Procediamo come per la divisione normale \(2x^2\) \(+5x\) \(+6\) x \(+2\)

\(-2x^2\) \(-4x\) \(2x\) \(+1\)

\(//\) \(+x\) \(+6\)

\(-x\) \(-2\)

\(//\) \(+4\)

Intanto il divisore e’ di due termini \(x+2\) quindi anche nel dividendo consideriamo i primi due termini \(2x^2+5x\), poi invece di fare il 12 sta nel 25 facciamo il primo termine sta nel primo termine cioe’ \(2x^2 : x = 2x\) e scriviamo il risultato. Ora moltiplichiamo il risultato per il divisore e, siccome quello che viene dovremo sottrarlo, ma nei polinomi si fa la somma algebrica, quindi per non fare la sottrazione cambiamo ogni termine di segno: \(2x \cdot x=2x^2\) lo cambio di segno \(-2x^2\) e lo scrivo sotto il primo poi faccio 2x·2=4x lo cambio di segno \(-4x\) e lo scrivo sotto il secondo Ora faccio la somma algebrica e scrivo il risultato: il primo termine deve sempre andare via mentre nel secondo termine avro’ \(5x-4x = x\). Vicino alla x sposto un altra cifra della divisione, in questo caso il \(6\) e ricomincio come prima

Divido il primo termine per il primo termine cioe’ \(x:x=1\) e lo scrivo nel risultato, poi moltiplico il valore che ho ottenuto per il divisore e cambio di segno:1·x=cambio di segno \(-x\) e lo scrivo sotto il primo poi calcolo 1·2=2cambio di segno \(-2\) e lo scrivo sotto il secondo poi faccio la somma algebrica. Il primo va via ed il secondo viene \(4\), questo e’ il resto. Raccogliendo: \((2x^2+5x+6):(x+2)\) da’ come quoziente \(2x+1\) e come resto \(4\) o meglio puoi scrivere \((2x^2+5x+6)= (x+2) \cdot (2x+1) +4\)

Piuttosto complicato vero? Se vuoi puoi puoi seguire i calcoli uno ad uno

Prova adesso a fare le seguenti divisioni \((6x^2-5x+4):(2x+3)=\)Calcoli \((4x^3-7x^2-4x+2):(x-3)=\)Calcoli \((2a^4+2a^3-13a^2 +17a-6):(a^2+3a-2)=\)Calcoli

Naturalmente, avendo preso il metodo della divisione dai numeri ed essendo i numeri dei polinomi ordinati potro’ eseguire la divisione solamente fra due polinomi ordinati. E se non sono ordinati dovro’ ordinarli. Se non e’ possibile ordinarli non e’ possibile fare la divisione: vediamo due esempi \((x^5 - 32):(x -2)=\)Calcoli \((x^6 - 64):(x^2 -4)=\)Calcoli (Fare anche divisione con la virgola)

I NUMERI SONO DEI POLINOMI

ti mostro che anche i numeri sono dei polinomi ordinati consideriamo ad esempio il numero \(4657\) esso si puo’ pensare come 4 migliaia piu’ 6 centinaia piu’ 5 decine piu’ sette unita’ cioe’ 4×10³+6×10²+5×10¹+7×10° se ora al posto di 10 metto a ottengo un polinomio \(4a³+6a²+5a+7\)

il numero 4×10³+6×10²+5×10¹+7×10° si dice scritto in forma polinomiale

Deve sempre andare via perche’ fai due operazioni contrarie una all’ altra: Prima dividi per un monomio poi motiplichi il risultato per lo stesso monomio e quindi ritorna il monomio di partenza. Se lo cambi di segno e fai la somma i due termini si annullano

\(2x^2\)

\(+5x\)

\(+6\)

\(+2\)

\(2x^2\)

\(+5x\)

\(+6\)

\(+2\)

\(2x^2\)

\(+5x\)

\(+6\)

\(+2\)

\(-2x^2\)

\(2x\)

\(2x^2\)

\(+5x\)

\(+6\)

\(+2\)

\(-2x^2\)

\(2x\)

\(2x^2\)

\(+5x\)

\(+6\)

\(+2\)

\(-2x^2\)

\(-4x\)

\(2x\)

\(//\)

\(+x\)

\(2x^2\)

\(+5x\)

\(+6\)

\(+2\)

\(-2x^2\)

\(-4x\)

\(2x\)

\(//\)

\(+x\)

\(2x^2\)

\(+5x\)

\(+6\)

\(+2\)

\(-2x^2\)

\(-4x\)

\(2x\)

\(//\)

\(+x\)

\(+6\)

\(2x^2\)

\(+5x\)

\(+6\)

\(+2\)

\(-2x^2\)

\(-4x\)

\(2x\)

\(+1\)

\(//\)

\(+x\)

\(+6\)

\(2x^2\)

\(+5x\)

\(+6\)

\(+2\)

\(-2x^2\)

\(-4x\)

\(2x\)

\(+1\)

\(//\)

\(+x\)

\(+6\)

\(-x\)

\(2x^2\)

\(+5x\)

\(+6\)

\(+2\)

\(-2x^2\)

\(-4x\)

\(2x\)

\(+1\)

\(//\)

\(+x\)

\(+6\)

\(-x\)

\(-2\)

\(//\)

\(+4\)

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(-6x^2\)

\(-9x\)

\(3x\)

\(-7\)

\(//\)

\(-14x\)

\(+4\)

\(+14x\)

\(+21\)

\(//\)

\(+25\)

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(-6x^2\)

\(3x\)

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(-6x^2\)

\(3x\)

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(-6x^2\)

\(-9x\)

\(3x\)

\(//\)

\(-14x\)

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(-6x^2\)

\(-9x\)

\(3x\)

\(//\)

\(-14x\)

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(-6x^2\)

\(-9x\)

\(3x\)

\(//\)

\(-14x\)

\(+4\)

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(-6x^2\)

\(-9x\)

\(3x\)

\(-7\)

\(//\)

\(-14x\)

\(+4\)

+14x

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(-6x^2\)

\(-9x\)

\(3x\)

\(-7\)

\(//\)

\(-14x\)

\(+4\)

\(+14x\)

\(6x^2\)

\(-5x\)

\(+4\)

\(2x\)

\(+3\)

\(-6x^2\)

\(-9x\)

\(3x\)

\(-7\)

\(//\)

\(-14x\)

\(+4\)

\(+14x\)

\(+21\)

\(//\)

\(+25\)

\(4x^3\)

\(-7x^2\)

\(-4x\)

\(+2\)

\(-3\)

\(-4x^3\)

\(+12x^2\)

\(4x^2\)

\(+5x\)

\(+11\)

\(//\)

\(+5x^2\)

\(-4x\)

\(-5x^2\)

\(+15x\)

\(//\)

\(+11x\)

\(+2\)

\(-11x\)

\(+33\)

\(//\)

\(+35\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(-4a\)

\(+3\)

\(//\)

\(-4a^3\)

\(-9a^2\)

\(+17a\)

\(+4a^3\)

\(+12a^2\)

\(-8a\)

\(//\)

\(3a^2\)

\(+9a\)

\(-6\)

\(-3a^2\)

\(-9a\)

\(+6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(2a^2\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(//\)

\(-4a^3\)

\(-9a^2\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(//\)

\(-4a^3\)

\(-9a^2\)

+17a

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(//\)

\(-4a^3\)

\(-9a^2\)

\(+17a\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(-4a\)

\(//\)

\(-4a^3\)

\(-9a^2\)

\(+17a\)

\(+4a^3\)

\(+12a^2\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(-4a\)

\(//\)

\(-4a^3\)

\(-9a^2\)

\(+17a\)

\(+4a^3\)

\(+12a^2\)

\(-8a\)

\(//\)

\(3a^2\)

\(+9a\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(-4a\)

\(//\)

\(-4a^3\)

\(-9a^2\)

\(+17a\)

\(+4a^3\)

\(+12a^2\)

\(-8a\)

\(//\)

\(3a^2\)

\(+9a\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(-4a\)

\(//\)

\(-4a^3\)

\(-9a^2\)

\(+17a\)

\(+4a^3\)

\(+12a^2\)

\(-8a\)

\(//\)

\(3a^2\)

\(+9a\)

\(-6\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(-4a\)

\(+3\)

\(//\)

\(-4a^3\)

\(-9a^2\)

\(+17a\)

\(+4a^3\)

\(+12a^2\)

\(-8a\)

\(//\)

\(3a^2\)

\(+9a\)

\(-6\)

\(-3a^2\)

\(2a^4\)

\(+2a^3\)

\(-13a^2\)

\(+17a\)

\(-6\)

\(a^2\)

\(+3a\)

\(-2\)

\(-2a^4\)

\(-6a^3\)

\(+4a^2\)

\(2a^2\)

\(-4a\)

\(+3\)

\(//\)

\(-4a^3\)

\(-9a^2\)

\(+17a\)

\(+4a^3\)

\(+12a^2\)

\(-8a\)

\(//\)

\(3a^2\)

\(+9a\)

\(-6\)

\(-3a^2\)

\(-9a\)

\(+6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(x^5\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-32\)

\(-2\)

\(-x^5\)

\(+2x^4\)

\(x^4\)

\(+2x^3\)

\(+4x^2\)

\(+8x\)

\(+16\)

\(//\)

\(+2x^4\)

\(//\)

\(-2x^4\)

\(+4x^3\)

\(//\)

\(+4x^3\)

\(//\)

\(-4x^3\)

\(+8x^2\)

\(//\)

\(+8x^2\)

\(//\)

\(-8x^2\)

\(+16x\)

\(//\)

\(+16x\)

\(-32\)

\(-16x\)

\(+32\)

\(//\)

\(//\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(+4x^2\)

\(+16\)

\(//\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(//\)

\(//\)

\(-4x^4\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(//\)

\(-64\)

\(-16x^2\)

\(//\)

\(+64\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(x^4\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(//\)

\(//\)

\(+4x^2\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(//\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(+4x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(//\)

\(//\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(+4x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(//\)

\(//\)

\(-4x^4\)

\(+16x^2\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(+4x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(//\)

\(//\)

\(-4x^4\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(+4x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(//\)

\(//\)

\(-4x^4\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(+4x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(//\)

\(//\)

\(-4x^4\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(+4x^2\)

\(+16\)

\(//\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(//\)

\(//\)

\(-4x^4\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(//\)

\(-64\)

\(-16x^2\)

\(x^6\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

\(-64\)

\(x^2\)

\(//\)

\(-4\)

\(-x^6\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(x^4\)

\(+4x^2\)

\(+16\)

\(//\)

\(//\)

\(+4x^4\)

\(//\)

\(//\)

\(-4x^4\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(//\)

\(//\)

\(+16x^2\)

\(//\)

\(-64\)

\(-16x^2\)

\(//\)

\(+64\)

\(//\)

\(//\)

\(//\)

divisione di Ruffini

DIVISIONE FRA POLINOMI METODO DI RUFFINI In Matematica occorre sempre cercare di fare prima e meglio, cioe’ la matematica e’ la scienza del massimo rendimento con il minimo sforzo. Ruffini, osservando la divisione fra un polinomio ed un binomio si accorse che parecchie cose erano superflue, quindi elaboro’ una divisione piu’ semplice. Purtroppo si puo’ applicare solo quando dividiamo un polinomio per un binomio di primo grado, pero’ vedrai che dovrai usarla moltissimo. \(2\) \(5\) \(6\) \(1\) \(2\)

\(2\) \(4\) \(2\) \(1\)

\(//\) \(1\) \(6\)

\(1\) \(2\)

\(//\) \(4\)

Osservando la divisione fra polinomi gia’ vista nella pagina precedente puoi notare che si incolonnano tutti i termini simili, (con le stesse lettere alla stessa potenza) quindi non c’e’ bisogno di scrivere le lettere, bastera’ scrivere i numeri

\(Diagramma che rappresenta l'impostazione per la regola di Ruffini. Mostra una griglia formata da una linea orizzontale e due linee verticali. Sopra la linea orizzontale, tra la prima e la seconda linea verticale, sono posizionati i numeri 2 e 5. A destra della seconda linea verticale, sempre sopra la linea orizzontale, è posizionato il numero 6.\)

e le lettere saranno sottointese, inoltre poiche’ divido per un binomio il risultato avra’ un termine meno del polinomio di partenza, quindi l’ultimo termine del polinomio lo scrivo fuori delle sbarre. Consideriamo poi che quello che conta nella divisione e’ il secondo termine del divisore

(perche' il primo rimoltiplicato viene uguale e di segno contrario, quindi va via)

e siccome quando

Diagramma che illustra l’impostazione della regola di Ruffini.Una griglia è formata da linee verticali e orizzontali.A sinistra della prima linea verticale e sopra la linea orizzontale, è posizionato il valore \(-2\), che rappresenta la radice del divisore.Sopra la linea orizzontale, tra le linee verticali, sono disposti i coefficienti del polinomio: \(2\), \(5\) e \(6\).

moltiplico dovrei cambiare di segno, invece di cambiare di segno il risultato cambio lui di segno e lo scrivo a sinistra. Adesso inizio la divisione: abbasso il primo termine

Diagramma che mostra l’inizio di una divisione polinomiale con la regola di Ruffini. Il divisore è \(-2\). I coefficienti del polinomio dividendo sono \(2\), \(5\), \(6\). Il primo coefficiente, \(2\), viene abbassato sotto la linea orizzontale, come indicato da una freccia blu.

poi lo moltiplico per il numero a sinista e scrivo il risultato sotto il secondo termine (ma sopra la sbarra orizzontale)

[figura: ruffini4.gif]

ora faccio la somma algebrica dei termini nella seconda colonna e scrivo il risultato sotto la sbarra.

[figura: ruffini5.gif]

Ora ripeto: moltiplico il divisore per il numero ottenuto e scivo il risultato nella terza colonna sopra la sbarra

[figura: ruffini6.gif]

Infine sommo in colonna e la divisione e’ terminata.

[figura: ruffini7.gif]

Il termine 4 fuori delle sbarre sara’ il resto mentre per ottenere il risultato devo rimettere le lettere ai termini: 1 sara’ il termine noto mentre a 2 dovro’ mettere x quindi risultato: 2x+1 con resto=4 Se osservi le due figure successive e guardi i riquadri blu ti puoi rendere conto che la divisione e’ la stessa fatta prima

[figura: divpol1.gif]

[figura: ruffini8.gif]

Ho bisogno di altre spiegazioni Ora su questo argomento e’ bene fare molti esercizi

Teorema di Ruffini

TEOREMA DEL RESTO DI RUFFINI Quando e’ possibile eseguire la divisione con il metodo di Ruffini e’ anche possibile riuscire a trovare il resto senza fare la divisione Vediamo prima perche’ si puo’ fare cosi’ poi, come conseguenza, vedremo il come. Consideriamo ad esempio il numero 25, esso diviso per 6 da’ per quoziente 4 e resto 1 Come scriverlo? \(25 = 6 X 4 + 1\) Cioe’ il numero e’ uguale al divisore per il quoziente piu’ il resto Essendo i polinomi un ampliamento dei numeri anche per essi potro’ scrivere: DIVIDENDO = DIVISORE X QUOZIENTE + RESTO Allora poniamo: POLINOMIO = P(x) DIVISORE (di Ruffini) =(x-a) QUOZIENTE = Q(x) RESTO = R Avremo P(x) = (x-a)·Q(x) + R Ora il nostro problema e’ trovare il resto cioe’ lasciare la R da sola dopo l’uguale e questo si puo’ fare se si elimina il termine (x-a)·Q(x) Per eliminare questo termine basta mettere a al posto di x il valore a, cosi’ \((a-a)\) vale zero e Q(x)·(a-a) = Q(x)·(0) = 0 Quindi resta: P(a) = (a-a)·Q(a) + R cioe’ \(P(a)= R\)

Regola: per ottenere il resto basta sostituire nel polinomio al posto della lettera il termine noto del divisore cambiato di segno

Ad esempio calcoliamo il resto di una divisione fatta nelle pagine precedenti: \((2x^2+5x+6):(x+2)\) Bastera’ sostituire \((-2)\) al posto della xnel polinomio \(2x^2+5x+6\) \(2 \cdot (-2)^2+5 \cdot (-2)+6 = 8-10+6 = 4\) Quindi \(R=4\) e’ il valore del resto