Questa sezione offre una raccolta di esercizi svolti sulla scomposizione di polinomi, ideali per ripassare e consolidare le diverse tecniche di fattorizzazione. Ogni esercizio è presentato con i passaggi intermedi per facilitare la comprensione.
Regola: le tecniche di scomposizione dei polinomi
Scomporre un polinomio significa riscriverlo come prodotto di fattori più semplici. In questa pagina si combinano quattro tecniche: raccoglimento totale a fattor comune, raccoglimento parziale (si raggruppano i termini a coppie), trinomio particolare \(Y^2+bY+c=(Y+A)(Y+B)\) e i prodotti notevoli come la differenza di cubi.
Esercizi Svolti di Scomposizione
Esercizio 1
\(ax + 2bx + 3ay + 6by =\)
\(x(a + 2b) + 3y(a + 2b) = (x + 3y)(a + 2b)\)
Esercizio 2
\(x^3 - x^2 - 6x =\)
\(x(x^2 - x - 6) = \begin{cases} A + B = -1 \\ A \cdot B = -6 \end{cases} \to \begin{cases} A = -3 \\ B = +2 \end{cases}\)
\(x(x + A)(x + B) = x(x - 3)(x + 2)\)
Esercizio 3
\(x^5 - 17x^3 + 16x =\)
\(x(x^4 - 17x^2 + 16) = \begin{cases} A + B = -17 \\ A \cdot B = +16 \end{cases} \to \begin{cases} A = -16 \\ B = -1 \end{cases}\)
\(x(x^2 + A)(x^2 + B) =\)
\(x(x^2 - 16)(x^2 - 1) = x(x + 4)(x - 4)(x + 1)(x - 1)\)
Esercizio 4
\(ax^2 + 6ax + 5a + bx + b =\)
\(a(x^2 + 6x + 5) + b(x + 1) = \begin{cases} A + B = 6 \\ A \cdot B = 5 \end{cases} \to \begin{cases} A = 5 \\ B = 1 \end{cases}\)
\(a(x + 5)(x + 1) + b(x + 1) =\)
\((x + 1)[a(x + 5) + b] = (x + 1)(ax + 5a + b)\)
Esercizio 5
\(x^4 - x^3 - 8x + 8 =\)
\(x^3(x - 1) - 8(x - 1) =\)
\((x^3 - 8)(x - 1) = (x - 2)(x^2 + 4 + 2x)(x - 1)\)
Speriamo che questi esercizi svolti ti siano stati utili per approfondire le tecniche di scomposizione dei polinomi. Continua a praticare per migliorare le tue abilità algebriche!
Vedi anche
- Quadrato di un trinomio: esercizi svolti. Il prodotto notevole propedeutico a questi esercizi.
- Scomposizione del trinomio particolare: esercizi svolti. Approfondisci il metodo \((Y+A)(Y+B)\) usato negli esercizi 2 e 3.
Pagine originali
Le scansioni originali delle pagine da cui è stato tratto questo esercizio. Clicca su un’immagine per ingrandirla.
Si è un sistema, argomento che affronterai più avanti, ma qui il ragionamento è semplice e riguarda la scomposizione in fattori del trinomio speciale: devi trovare due numeri A e B la cui somma sia uguale al termine noto -1, e il cui prodotto sia uguale al coefficiente della x di primo grado -6. Lo puoi fare a mente cercando tra i divisori di -6 e trovi subito +2 e -3. A questo punto il trinomio si scompone come
(x+2)(x-3)
Una domanda: l’esercizio 2) non lo riesco a fare, è perché si tratta di qualcosa che vedrò più avanti (ho fatto solo il primo anno di superiori) oppure perché sono io che non mi ricordo cosa ci fa un Sistema (è un Sistema, vero?) là in mezzo? O.o
Grazie mille… e beh, come sempre complimenti ^^
Eva.