Scomposizione del Trinomio Particolare: Esercizi Svolti

Questa sezione è dedicata alla scomposizione in fattori di espressioni riconducibili alla forma \(Y^2 + bY + c\), note come trinomi particolari. Attraverso una serie di esempi pratici, vedremo come applicare il metodo che si basa sulla ricerca di due numeri la cui somma e il cui prodotto corrispondono rispettivamente al coefficiente del termine di primo grado e al termine noto.

Esempi di Scomposizione del Trinomio Particolare

Esercizio 1

Scomponiamo il trinomio: \(a^2 + 3a + 2\)

Cerchiamo due numeri \(A\) e \(B\) tali che la loro somma sia il coefficiente del termine di primo grado, cioè 3, e il loro prodotto sia il termine noto, cioè 2.

\[\begin{cases} A+B=3 \\ A \cdot B=2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} A=1 \\ B=2 \end{cases}\]

Una volta trovati \(A=1\) e \(B=2\), possiamo scomporre il trinomio come segue:

\(a^2 + 3a + 2 = (a+A)(a+B) = (a+1)(a+2)\)

Esercizio 2

Scomponiamo il trinomio: \(x^2 - 9x + 8\)

Cerchiamo due numeri \(A\) e \(B\) tali che la loro somma sia -9 e il loro prodotto sia 8.

\[\begin{cases} A+B=-9 \\ A \cdot B=8 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} A=-8 \\ B=-1 \end{cases}\]

Con \(A=-8\) e \(B=-1\), la scomposizione è:

\(x^2 - 9x + 8 = (x+A)(x+B) = (x-8)(x-1)\)

Esercizio 3

Scomponiamo il trinomio: \((ab)^2 + 3(ab) + 2\)

Anche in questo caso, la struttura è quella di un trinomio particolare, dove la variabile è \(ab\). Cerchiamo due numeri \(A\) e \(B\) tali che la loro somma sia 3 e il loro prodotto sia 2.

\[\begin{cases} A+B=3 \\ A \cdot B=2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} A=2 \\ B=1 \end{cases}\]

La scomposizione diventa:

\((ab)^2 + 3(ab) + 2 = (ab+A)(ab+B) = (ab+2)(ab+1)\)

Esercizio 4

Scomponiamo il trinomio: \(x^4 - 13x^2 + 36\)

Questo trinomio è un trinomio particolare nella variabile \(x^2\). Ponendo \(Y = x^2\), otteniamo \(Y^2 - 13Y + 36\). Cerchiamo quindi due numeri \(A\) e \(B\) tali che la loro somma sia -13 e il loro prodotto sia 36.

\[\begin{cases} A+B=-13 \\ A \cdot B=36 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} A=-9 \\ B=-4 \end{cases}\]

Applichiamo la scomposizione per il trinomio particolare:

\(x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2-9)(x^2-4)\)

Notiamo che i fattori ottenuti sono differenze di quadrati e possono essere ulteriormente scomposti:

\(= (x-3)(x+3)(x-2)(x+2)\)

Questi esempi illustrano come il metodo del trinomio particolare sia versatile e applicabile anche a espressioni più complesse, purché siano riconducibili alla struttura fondamentale \(Y^2 + bY + c\).

Vedi anche

• Quadrato di un trinomio: esercizi svolti. Il prodotto notevole da cui nasce questo tipo di trinomio.
• Scomposizioni di polinomi: esercizi svolti. Altre tecniche di scomposizione, incluso il raccoglimento a fattor comune.

Pagine originali

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