Vedi anche:
→ Tutti gli esercizi di studio di funzione
→ Guida allo studio di funzione
→ Studio di funzioni — Funzioni razionali fratte
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Per rivedere il procedimento generale, consulta la guida completa con studio di funzione esercizi svolti passo per passo.
Studiare la seguente funzione: [ fleft(xright)=sqrt{1-left|xright|} ] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:
Se [ xgeq0 ] allora: [ fleft(xright)=sqrt{1-x} ] Se [ x<0 ] allora: [ fleft(xright)=sqrt{1+x} ] 1) Dominio: [ 1-left|xright|geq0rightarrowleft|xright|leq+1rightarrow xinleft[-1;+1right] ] [ D=left[-1:+1right] ] 2) Simmetrie: [ fleft(-xright)=sqrt{1-left|-xright|}=sqrt{1-left|xright|}=fleft(xright) ] f(x) è pari: per comodità la possiamo studiare solo per x>0. Per x<0 sarà simmetrica rispetto all’asse y.
3) Intersezioni con gli assi: [ left{ begin{array}{c} x=0\ fleft(xright)=1 end{array}right.rightarrowleft(0;1right)in fleft(xright) ] [ left{ begin{array}{c} fleft(xright)=0\ sqrt{1-left|xright|}=0 end{array}right.rightarrowleft{ begin{array}{c} fleft(xright)=0\ left|xright|=1 end{array}right.rightarrowleft{ begin{array}{c} fleft(xright)=0\ x=pm1 end{array}right.rightarrowleft(-1;0right)in fleft(xright);;;left(1;0right)in fleft(xright) ] 4) Segno: [ fleft(xright)geq0;forall xinmathbb{D} ] 5) Limiti:
Non ci sono limiti da calcolare perche la funzione è continua nell’intervallo chiuso -1;1.
6) Derivate:
Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive: [ f’left(xright)=-frac{1}{2sqrt{1-x}} ] [ f’left(xright)<0;forall xinleft[0;1right) ] quindi f'(x) è negativa per x>0, di conseguenza in questo intervallo f(x) è decrescente.
Notiamo che: [ f’left(0right)=-frac{1}{2} ] [ lim_{xrightarrow o^{-}}f’left(xright)=lim_{xrightarrow o^{-}}frac{1}{2sqrt{1+x}}=+frac{1}{2} ] [ lim_{xrightarrow o^{-}}f’left(xright)neq f’left(0right) ] quindi (0;1) è un punto angoloso.
Notiamo anche che: [ lim_{xrightarrow1^{-}}f’left(xright)=lim_{xrightarrow o^{-}}left[-frac{1}{0^{+}}right]=-infty ] quindi la curva nel punto (1;0) ha come tangente la retta x=1.
Derivata seconda:
Ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x positive: [ f”left(xright)=-2frac{1}{2sqrt{1-x}}left(frac{1}{4left(1-xright)}right)=-frac{1}{4sqrt{left(1-xright)^{3}}} ] [ f”left(xright)<0;forall xinleft[0;1right) ] quindi per x>0 la funzione risulta concava. Per simmetria nell’intervallo x<0 risulterà convessa.
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