Determinare il punto della parabola [ 4y+x^{2}=10x-5 ] per il quale è massima la somma delle sue coordinate.

Soluzione

Scrivendo l’equazione della parabola in forma esplicita otteniamo: [ y=frac{1}{4}left(-x^{2}+10x-5right) ] Il punto generico P della parabola ha coordinate: [ Pleft(x;frac{1}{4}left(-x^{2}+10x-5right)right) ] La somma delle coordinate di P è la nostra funzione di x: [ f=x_{P}+y_{P} ] [ fleft(xright)=x+frac{1}{4}left(-x^{2}+10x-5right) ] [ fleft(xright)=-frac{x^{2}}{4}+frac{7}{2}x-frac{5}{4} ] Calcoliamo la derivata: [ f’left(xright)=frac{1}{2}left(-x+7right) ] Studiamone il segno: [ f’left(xright)geq0rightarrow xleq7 ] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione f(x) è crescente per x minore di 7, decrescente per x maggiore di 7, ha quindi un massimo per [ x_{P}=7rightarrow y_{P}=4 ] e il punto P avrà quindi coordinate [ Pleft(7;4right) ]

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