Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:
Esercizio 1 \[ \sqrt[x]{7^{7}}\cdot\sqrt[x+3]{7^{4}}=\sqrt[x+4]{7^{6}} \] In questo esercizio x dev’essere strettamente positivo, in modo che tutti gli indici delle radici siano positivi. \[ 7{}^{\frac{7}{x}}\cdot7^{\frac{4}{x+3}}=7^{\frac{6}{x+4}} \] \[ \frac{7}{x}+\frac{4}{x+3}=\frac{6}{x+4} \] \[ \frac{7\left(x+3\right)\left(x+4\right)+4x\left(x+4\right)-6x\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=0 \] \[ 7\left(x+3\right)\left(x+4\right)+4x\left(x+4\right)-6x\left(x+3\right)=0 \] \[ \left(7x+21\right)\left(x+4\right)+4x^{2}+16x-6x^{2}-18x=0 \] \[ 7x^{2}+21x+28x+84+4x^{2}+16x-6x^{2}-18x=0 \] \[ 5x^{2}+47x+84=0 \] Usando la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado: \[ x_{1}=-\frac{12}{5}\;;\; x_{2}=-7 \] Viste le condizioni di esistenza della nostra equazione, queste soluzioni NON sono accettabili.
Esercizio 2 \[ \sqrt[x]{\left(\frac{4}{3}\right)^{4x+7}}=\left(\frac{64}{27}\right)^{x+2} \] In questo esercizio x dev’essere strettamente positivo, in modo che l’indice della radice sia positivo. \[ \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{4x+7}{x}}=\left(\frac{4}{3}\right)^{3\left(x+2\right)} \] \[ \frac{4x+7}{x}=3x+6 \] \[ \frac{4x+7-3x^{2}-6x}{x}=0 \] \[ x\neq0 \] \[ 4x+7-3x^{2}-6x=0 \] \[ 3x^{2}+2x-7=0 \] Soluzioni: \[ x_{1}=\frac{-1-\sqrt{22}}{3}\;;\; x_{2}=\frac{-1+\sqrt{22}}{3} \] La prima soluzione NON è accettabile perchè negativa!
Ciao! Urgentissimooo! qualcuno mi potrebbe spiegare con che criterio, nel grafico degli esponenziali vado a cancellare (o ad escludere) le parti superiori o inferiori? So che se ho un dominio che ad esempio esclude i numeri 2,3,4 sul grafico devo andare a cancellare sia la parte superiore che quella inferiore compresa tra questi tre numeri…ma sono gli altri passaggi che non capisco :( per esempio sulla funzione y= 1/4x^2-20x+50 ?? la pongo > 0 e poi?
grazie mille in anticipo!
E invece io ho provato a risolvere questa equazione e^x-1/x-2=1 ho fatto il minimo comune multiplo x-2 e mi è uscito x-1=x-2 x-x=-2+1 sul libro esce 1 però. Cosa ho sbagliato?
Nel tuo caso, 1 è uguale a e^0, perciò diventerà x-1/x-2=0. x sarà diversa da 2 per il campo di esistenza e x sarà appunto uguale ad 1.
potreste spiegarmi come si risolve questa: 2^ (x+1) + 2^ -x =3
Dovrebbe essere impossibile perché non hanno la stessa base (almeno così ho studiato)
Ma nel secondo esercizio nella formula risolutiva quando dividi tutto per 2 il delta sotto radice dovrebbe essere 44 e non 22
No, dividi per 4 l’88 e fa 22. Se porti fuori il 4 dalla radice fa 2
perchè x deve essere strettamente positivo?
No Ian, la soluzione x2 dell’esercizio 2 è accettabile anche se non è un intero, in quanto è strettamente positiva ed è un numero appartenente all’insieme dei numeri reali (come peraltro la soluzione x1, con la differenza che non è accettabile in quanto è negativa).
Ma nel secondo esercizio, alla fine, non avete applicato la formula risolutiva !?
nell’esercizio 2 l’equazione di 2′ grado come fa a dare quelle soluzioni dovrebbe essere -2 +o- radice 4+88 fratto 6 che da un altro risultato
Se semplifichi il tuo risultato è lo stesso… io ho usato la formula ridotta (con il delta quarti)
nell’esercizio 2 come fai a trasformare (64/27)^x+2 se 64 è 4^3 e 27 è 3^3? devi moltiplicare l’esponente e poi dividerlo?
(64/27)^(x+2)=
((4/3)^3)^(x+2)=
(potenza di potenza -> moltiplico gli esponenti)
(4/3)^(3(x+2))
… ma gli indici possono essere solo interi positivi, quindi entrambe le equazioni sono impossibili!
Grazie della segnalazione!
tranne x2 della seconda che è positivo e quindi accettabile…
No, perché non è un intero. In generale il numero a^(x/y), se non sbaglio, è definito solo se x/y è una frazione irriducibile, cioè se x e y sono coprimi fra loro. Questo complica abbastanza tutto il procedimento. Se x e y non sono coprimi si possono avere casi chiaramente assurdi. Sbaglio?
Se, come credo, ho ragione, allora l’esercizio due non ammette soluzione
Intendevo l’uguaglianza tra la radice di indice y di a^x e il numero, sempre definito se a è positivo, a^(x/y).
Ciao Fedex,
grazie a te del commento, buono studio!
Magnifico Grazie mille!!!!