Geometria analitica - Esercizio di riepilogo 2

L’ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ è tangente alla retta $x\sqrt{6}+3y\sqrt{2}-12=0$ nel punto di ascissa $\sqrt{6}$ . Determinare l’equazione dell’ellisse, le coordinate dei fuochi e l’eccentricità.

Soluzione

Per prima cosa troviamo l’ ordinata del punto dall’equazione della retta:

$y_{P}=\frac{12-x_{P}\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}\rightarrow P(\sqrt{6};\sqrt{2})$

Usando la formula di sdoppiamento per l’ellisse:

$\frac{xx_{P}}{a^2}+\frac{yy_{P}}{b^2}=1$

$\frac{\sqrt{6}x}{a^2}+\frac{\sqrt{2}y}{b^2}-1=0$

Moltiplico a dx e sx per 12, in modo da avere lo stesso termine noto della retta tangente nel punto P, che riporto sotto (in questo modo possiamo eguagliare i coefficienti di x e y):

$\frac{12\sqrt{6}x}{a^2}+\frac{12\sqrt{2}y}{b^2}-12=0$