L’ellisse di equazione \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) è tangente alla retta \( x\sqrt{6} + 3y\sqrt{2} - 12 = 0 \) nel punto di ascissa \( x_P = \sqrt{6} \). Determinare l’equazione dell’ellisse, le coordinate dei fuochi e l’eccentricità.
Risoluzione
1. Determinazione del punto di tangenza
Poiché il punto di tangenza \( P \) ha ascissa \( x_P = \sqrt{6} \) e appartiene alla retta data, ricaviamo l’ordinata sostituendo nell’equazione della retta:
\[ \sqrt{6}\cdot\sqrt{6} + 3y\sqrt{2} - 12 = 0 \]
\[ 6 + 3y\sqrt{2} - 12 = 0 \]
\[ 3y\sqrt{2} = 6 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \sqrt{2}. \]
Dunque il punto di tangenza è \( P(\sqrt{6},\sqrt{2}) \).
2. Equazione della tangente all’ellisse nel punto \( P \)
Per l’ellisse \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), la tangente nel punto \( P(x_P,y_P) \) ha equazione
\[ \frac{xx_P}{a^2} + \frac{yy_P}{b^2} = 1. \]
Sostituendo \( x_P = \sqrt{6} \) e \( y_P = \sqrt{2} \), otteniamo:
\[ \frac{\sqrt{6}\,x}{a^2} + \frac{\sqrt{2}\,y}{b^2} = 1. \]
Portandola in forma implicita:
\[ \frac{\sqrt{6}\,x}{a^2} + \frac{\sqrt{2}\,y}{b^2} - 1 = 0. \]
3. Confronto con la retta assegnata
La retta data dal testo è
\[ x\sqrt{6} + 3y\sqrt{2} - 12 = 0. \]
Poiché le due rette coincidono, le loro equazioni devono essere proporzionali. Moltiplichiamo per \( 12 \) l’equazione della tangente dell’ellisse, così da ottenere lo stesso termine noto:
\[ \frac{12\sqrt{6}\,x}{a^2} + \frac{12\sqrt{2}\,y}{b^2} - 12 = 0. \]
Confrontando i coefficienti dei termini omologhi, ricaviamo:
\[ \frac{12\sqrt{6}}{a^2} = \sqrt{6} \quad \Rightarrow \quad a^2 = 12, \]
\[ \frac{12\sqrt{2}}{b^2} = 3\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad b^2 = 4. \]
4. Equazione dell’ellisse
Sostituendo i valori trovati, l’equazione dell’ellisse è
\[ \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1. \]
In forma equivalente:
\[ x^2 + 3y^2 = 12. \]
Verifichiamo anche che il punto trovato appartenga all’ellisse:
\[ \frac{(\sqrt{6})^2}{12} + \frac{(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{6}{12} + \frac{2}{4} = 1. \]
5. Fuochi ed eccentricità
Poiché \( a^2 = 12 > b^2 = 4 \), l’asse maggiore è l’asse \( x \). Quindi
\[ c^2 = a^2 - b^2 = 12 - 4 = 8 \quad \Rightarrow \quad c = 2\sqrt{2}. \]
I fuochi sono perciò
\[ F_1(-2\sqrt{2},0), \qquad F_2(2\sqrt{2},0). \]
L’eccentricità vale
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{2}{3}}. \]
6. Risultato finale
- Equazione dell’ellisse: \( \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1 \), cioè \( x^2 + 3y^2 = 12 \).
- Fuochi: \( F_1(-2\sqrt{2},0) \) e \( F_2(2\sqrt{2},0) \).
- Eccentricità: \( e = \sqrt{\frac{2}{3}} \).