Scrivere l’equazione dell’ellisse, riferita al centro e agli assi, sapendo che il semiasse maggiore misura 4, che l’ellisse è tangente alla retta x + 2y – 8 = 0 nel punto A e che i fuochi stanno sull’asse x. Calcolare le coordinate dei fuochi e l’eccentricità. Verificare che il punto A appartiene all’iperbole equilatera xy = 6 e calcolare la misura del perimetro e dell’area del quadrilatero avente per vertici i punti d’intersezione dell’ellisse con l’iperbole.

Soluzione

Scriviamo l’equazione dell’ellisse, riferita al centro e agli assi:

Visto che i fuochi stanno sull’asse x, e il semiasse maggiore vale 4:

Ora abbiamo la sola incognita b, e l’equazione dell’ellisse diventa:

L’ellisse è tangente alla retta x + 2y – 8 = 0 nel punto A, per cui il sistema retta-ellisse avrà una sola soluzione, ovvero il delta=0 (come procedimento alternativo si potrebbe usare la fotmula di sdoppiamento, visto che il punto A è il punto di tangenza) :

Sostituendo la seconda nella prima, e moltiplicando a destra e sinistra per 16b^2:

Sviluppando i calcoli otteniamo:

L’equazione dell’ellisse diventa:

Ora troviamo il punto A risolvendo il sistema precedente:

I fuochi dell’ellisse hanno coordinate (c;0) e (-c;0):

L’eccentricità:

La verifica che il punto A appartiene a xy=6 è semplice:

Per trovare i punti di intersezione si mette a sistema ellisse e iperbole:

I quattro punti (in ordine orario nel piano cartesiano) sono:

Per trovare perimetro e area sfruttiamo il fatto che la figura CDEF è un rettangolo:

Quindi basterà calcolare le distanze:

e sostituirle nelle formule di perimetro e area, troviamo: