TESTO
Si stabilisca per quali valori di \(a\) e \(b\), si ha
\[
\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{4+bx}-2}{x}=1.
\]
SOLUZIONE
Nel limite proposto, il numeratore non può essere \(\neq 0\) altrimenti il limite divergerebbe. Quindi possiamo subito dire che \(\sqrt{a+bx}-2=0\hspace{3mm}\Longrightarrow\hspace{3mm}\sqrt{a+bx}=2.\) Ne consegue immediatamente che \(a=4\) poichè \(\lim_{x\to 0}bx=0.\)
Ora, ricaviamo \(b\):
\begin{align*}
\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{4+bx}-2}{x}&=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{4+bx}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{4+bx}+2}{\sqrt{4+bx}+2}=\\
&=\lim_{x\to 0 }\frac{4+bx-4}{x(\sqrt{4+bx}+2)}\\
&=\lim_{x\to 0 }\frac{b}{\sqrt{4+bx}+2}=\\
&=\frac{b}{4}
\end{align*}
\[
\Longrightarrow \hspace{3mm}\frac{b}{4}=1\hspace{3mm} \Longrightarrow\hspace{3mm} b=4.
\]