Testo Si determini il periodo della funzione \[ f\left(x\right)=\cos\left(5x\right) \] Soluzione Una funzione reale f di variabile reale x nel dominio D, si dice periodica se e solo se esiste un valore T diverso da 0 in corrispondenza del quale vale la seguente: \[ f\left(x+kT\right)=f\left(x\right)\;\forall x\epsilon D\wedge k\epsilon Z \] Nel nostro quanto appena detto […]
Testo Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”, Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri , che la scodella ha […]
Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2009 per il liceo scientifico. Traccia della seconda prova – Scientifico 2009 Problema 1 – Scientifico 2009 (testo e soluzione) Problema 2 – Scientifico 2009 (testo e soluzione) Quesito 1 – Scientifico 2009 (testo e soluzione) Quesito 2 – Scientifico 2009 (testo e soluzione) Quesito […]
Testo Si provi che l’equazione: \[ x^{2009}+2009x+1=0 \] ha una sola radice compresa tra -1 e 0. Soluzione La funzione \[ f\left(x\right):x^{2009}+2009x+1 \] è definita in tutto l’insieme dei numeri reali ed è tale che agli estremi dell’intervallo date assume valori di segno opposto: \[ f\left(-1\right)=\left(-1\right)^{2009}-2009+1=-1-2009+1=-20090 \] Inoltre, poichè la funzione in studio è la […]
Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2009 per il liceo scientifico – indirizzo PNI. Traccia della seconda prova – Scientifico PNI 2009Problema 1 – Scientifico PNI 2009 (testo e soluzione)Problema 2 – Scientifico PNI 2009 (testo e soluzione)Quesito 1 – Scientifico PNI 2009 (testo e soluzione)Quesito 2 – Scientifico PNI 2009 […]
Testo Si dimostri la seguente: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k+1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)\frac{n-k}{n+1} \] con n e k numeri naturali e n > k. Soluzione Per definizione di coefficiente binomiale, si ha che il primo termine dell’uguaglianza è: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ k+1 \end{array}\right)=\frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!} \] Il secondo termine invece si può scrivere come: \[ \left(\begin{array}{c} n\\ […]
Testo In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, si consideri la funzione (con k parametro reale) \[ f\left(x\right)=x^{3}+kx \] 1. Si dica come varia il grafico di f al variare di k (k positivo, negativo o nullo). 2. Sia \[ g\left(x\right)=x^{3} \] e G il suo grafico. Si dimostri che G e la retta […]
Testo Si calcoli il seguente: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x} \] Soluzione Il limite dato ricade in una forma di indeterminazione del tipo \[ \frac{\infty}{\infty} \] cerco quindi di scrivere la funzione ad argomento del limite fattorizzando uno dei termini sotto la radice: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{|x|}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \] Posso togliere il valore assoluto considerando che il limite è per valori […]
Testo Sia f la funzione definita da \[ f\left(x\right)=\left(1+x+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{2}}{n!}\right)e^{-x} \] dove n è un intero positivo e x appartiene all’insieme dei numeri reali. 1) Si verifichi che la derivata di f(x) è \[ f^{‘}\left(x\right)=-\frac{x^{2}}{n!}e^{-x} \] 2) Si dica se la funzione f ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando n […]
Testo Si considerino le seguenti espressioni: \[ \frac{0}{1};\frac{0}{0};\frac{1}{0};0^{0} \] A quali di esse si può attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta. Soluzione Posto \[ \alpha=\frac{0}{1} \] la definizione di quoziente implica che debba rappresentare quel numero tale che sia \[ \alpha\cdot1=0\rightarrow\alpha=0 \] e questa uguaglianza è soddisfatta unicamente da 0. La prima scrittura […]