Testo Siano: 1) ABC un triangolo rettangolo in A; 2) r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo; 3) P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. Soluzione Poichè la retta r è perpendicolare al piano del triangolo nel punto B […]
Testo Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e Gamma la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza Lambda passante per C e tangente esternamente a Gamma. 1. Se AP = x, si […]
Testo Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è: \[ p^{(n)}(x)=n!a_{n} \] dove \[ a_{n} \] è il coefficiente di \[ x^{n} \] Soluzione Questo è il polinomio di grado n: \[ p\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \] La derivata prima è: \[ p^{‘}\left(x\right)=n\cdot a_{n-1}x^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+..+a_{2}x+a_{1}=\sum_{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1} \] La derivata seconda è: \[ p^{”}\left(x\right)=n\cdot\left(n-1\right)\cdot […]
Testo Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da: \[ f\left(x\right)=x^{3}-16x \] \[ g(x)=\sin\frac{\pi}{2}x \] 1. Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i […]
Testo Sia r la retta di equazione \[ y=ax \] tangente al grafico di \[ y=e^{x} \] Quale è la misura in gradi e primi sessagesimali dell’angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse? Soluzione Per determinare l’angolo richiesto sfrutto il concetto di coefficiente angolare. Questo infatti esprime la tangente goniometrica […]
Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2011 per il liceo scientifico – indirizzo PNI. Traccia della seconda prova – Scientifico PNI 2011 Problema 1 – Scientifico PNI 2011 (testo e soluzione) Problema 2 – Scientifico PNI 2011 (testo e soluzione) Quesito 1 – Scientifico PNI 2011 (testo e soluzione) Quesito 2 […]
Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2010 per il liceo scientifico. Traccia della seconda prova – Scientifico 2010 Problema 1 – Scientifico 2010 (testo e soluzione) Problema 2 – Scientifico 2010 (testo e soluzione) Quesito 1 – Scientifico 2010 (testo e soluzione) Quesito 2 – Scientifico 2010 (testo e soluzione) Quesito […]
Testo Un test d’esame è composto da dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere l’unica risposta corretta fra quattro alternative. Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risposte risultino corrette? Soluzione Se indico con n il numero di risposte esatte si vuole trovare la probabilità che n […]