Testo Si consideri la regione limitata da \[ y=\sqrt{x} \] dall’asse x e dalla retta \[ x=4 \] e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y. Soluzione L’equazione \[ y=\sqrt{x}\; x\epsilon R^{+} \] rappresenta un arco di parabola. La regione che si vuole considerare nelle […]
Testo Di tutti i coni inscritti in una sfera di raggio 10 cm, qual è quello di superficie laterale massima? Soluzione Se chiamo O il centro della sfera, V il vertice del cono retto, H la proiezione ortogonale di V sulla base del cono e A un punto della circonferenza di base, allora OV=OB=OA e, […]
Testo Nel piano riferito ad un sistema Oxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: \[ p1:\; y^{2}=2x \] \[ p2:\; x^{2}=y \] 1. Si disegnino le due parabole e se ne determinino le coordinate dei fuochi e le equazioni delle rispettive rette direttrici. Si denoti con A il punto di intersezione delle […]
Testo Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB = 3, AC = 2 e l’angolo ABC di 45 gradi. Si provi inoltre che se AB = 3, AC = 2 e l’angolo ABC di 30 gradi, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni. Soluzione Dai dati del problema riscriviamo lati, angoli […]
Testo In una delle sue opere G. Galilei fa porre da Salviati, uno dei personaggi, la seguente questione riguardante l’insieme N dei numeri naturali (che lui definisce ”i numeri tutti”). Dice Salviati: ”. . . se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò […]
Testo In figura è riportato il grafico di g(x) per x tra -2 e 5, essendo g la derivata di una funzione f. Il grafico consiste di tre semicirconferenze con centri in (0, 0), (3, 0), (9/2 , 0) e raggi rispettivi 2, 1 e 0.5. 1. Si scriva un’espressione analitica di g(x). Vi sono […]
Testo Se n>3 e \[ a_{n-1}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-1 \end{array}\right),a_{n-2}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-2 \end{array}\right),a_{n-3}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-3 \end{array}\right) \] sono in progressione aritmetica, che valore avrà n? Soluzione Se i tre elementi sono in progressione aritmetica significa che la differenza tra un elemento della successione e il precedente – o il successivo – è un valore costante d […]
Testo Sia R la regione delimitata, per x appartenente a 2 [0,pi], dalla curva y=sen(x) e dall’asse x e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Si calcoli il volume di W. Soluzione Considero la regione R come unione di due contributi, R1 e R2. La prima regione è compresa […]
Testo Sia R la regione delimitata dalla curva \[ y=x^{3} \] dall’asse x e dalla retta x=2 e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Si calcoli il volume di W. Soluzione L’equazione \[ y=x^{3} \] è l’equazione della parabola cubica, il cui grafico è: Il volume richiesto W è […]
Testo Si trovi il punto della curva \[ y=\sqrt{x} \] più vicino al punto di coordinate (4; 0). Soluzione La curva di equazione \[ y=\sqrt{x} \] con \[ x\geq0 \] è un arco di parabola con asse coincidente con l’asse x, così come si vede qui sotto: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} x=y^{2}\\ x\geq0\\ y\geq0 \end{array}\end{cases} \] […]