Testo Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio? Soluzione Indico con x la distanza da una delle basi del cilindro dal centro della sfera. L’altezza del cilindro è h=2x, con 2x compreso tra 0 e […]

Testo Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da: \[ f(x)=(ax+b)e^{\frac{-x}{3}}+3 \] dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto di ascissa 4 e che \[ f(0)=2 \] 1. Si provi che a=1 e b=-1 2. Si studi su R […]

Testo Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da: \[ f(x)=x^{3}-4x\:,\: g(x)=senx \] 1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G(f)e G(g). 2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G(f) con la […]

Testo Nella figura a lato, denotati con I, II e III, sono disegnati tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è della funzione derivata f’ e l’altro ancora di f”. Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? Soluzione Andiamo ad analizzare tutte le possibili […]

Testo Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa. Soluzione Detto O il punto medio dell’ipotenusa AB del triangolo ABC, rettangolo in C, questo punto è il […]

Testo Si trovi l’area della regione delimitata dalla curva \[ y=cosx \] e dall’asse x da x=1 a x=2 radianti. Soluzione L’area desiderata (area colorata in figura, composta da due contributi diversi, uno sotto e uno sopra l’asse delle ascisse) è: \[ A=\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(x\right)dx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{2}\cos\left(x\right)dx \] \[ A=|\sin\left(x\right)|_{1}^{\frac{\pi}{2}}-|\sin\left(x\right)|_{\frac{\pi}{2}}^{2} \] \[ A=1-\sin\left(1\right)-\sin\left(2\right)+1\approx0,25 \]