Testo Si trovi il punto della curva \[ y=\sqrt{x} \] più vicino al punto di coordinate (4; 0). Soluzione La curva di equazione \[ y=\sqrt{x} \] con \[ x\geq0 \] è un arco di parabola con asse coincidente con l’asse x, così come si vede qui sotto: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} x=y^{2}\\ x\geq0\\ y\geq0 \end{array}\end{cases} \] […]
Testo Si trovi l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto \[ P\left(3\cos t,2\sin t\right) \] al variare di t \[ t\geq0\:\wedge\: t\leq2\pi \] Soluzione Le coordinate del punto P sono date in forma parametrica, cioè sono espresse tramite due equazioni. Queste due equazioni sono dipendenti ciascuna da un parametro t \[ t\geq0\:\wedge\: t\leq2\pi \] […]
Testo Siano: 1) ABC un triangolo rettangolo in A; 2) r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo; 3) P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. Soluzione Poichè la retta r è perpendicolare al piano del triangolo nel punto B […]
Testo Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n. Soluzione Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è dato dal coefficiente binomiale \[ C_{n,4}=\left(\begin{array}{c} n\\ 4 \end{array}\right)=\frac{n!}{4!\cdot(n-4)!} \] (e in maniera analoga […]
Testo Sia G il grafico di una funzione f(x) che ha come dominio tutto l’insieme dei numeri reali. Si illustri in che modo è possibile stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta x=k. Soluzione Considero un generico punto P(x,y) appartenente alla funzione f(x) e la sua immagine P'(x’,y’) simmetrico rispetto alla retta x=k. L’appartenenza […]
Testo Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è: \[ p^{(n)}(x)=n!a_{n} \] dove \[ a_{n} \] è il coefficiente di \[ x^{n} \] Soluzione Questo è il polinomio di grado n: \[ p\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \] La derivata prima è: \[ p^{‘}\left(x\right)=n\cdot a_{n-1}x^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+..+a_{2}x+a_{1}=\sum_{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1} \] La derivata seconda è: \[ p^{”}\left(x\right)=n\cdot\left(n-1\right)\cdot […]
Testo Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali: \[ f(x)=x+\ln4+\frac{2}{e^{x}+1} \] e sia G il suo grafico nel sistema di riferimento Oxy. 1. Si determini il limite di f(x) per x che tende a +infinito e a -infinito. Si calcoli f(x)+f(-x) e si spieghi perchè dal risultato si può dedurre che il […]
Testo Si calcoli con la precisione di due cifre decimali lo zero della funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+x^{3}-1 \] Come si può essere certi che esiste un unico zero? Soluzione La funzione \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+x^{3}-1 \] ha come dominio tutto R e nel suo dominio la funzione è sempre continua, in particolare anche nell’intervallo tra 0 e 1 […]
Testo Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita da: \[ f\left(x\right)=b^{x}\;\left(b>0,b\neq1\right) \] 1. Sia G il grafico di f(x) relativo ad un assegnato valore di b. Si illustri come varia G al variare di b. 2. Sia P un punto di G. La tangente a G in P e […]