Quesito7 E’ dato un tetraedro regolare di spigolo \(l\) e altezza \(h\). Si determini l’ampiezza dell’angolo \( \alpha\) formato da \(l\) e da \(h\). Soluzione Un tetraedro regolare è uno dei cinque solidi platonici le cui facce sono triangoli equilateri congruenti di lato \(l=\overline{AV}=\overline{AB}\) (Fig.1). Tale solido è retto, ovvero il piede dell’altezza cade nel […]
Quesito6 Sia \( f(x) = 5\sin x+\cos^2x-\sin^2x-\frac{5}{2}\sin2x-\cos2x-17\); Si calcoli \(f'(x)\). Soluzione La funzione \(f(x)\) è una funzione goniometrica di II grado in \(x\), ma possiamo ricondurla ad una funzione lineare relativa all’angolo \(2x\) ricordando le formule di duplicazione \[ \frac{1}{2}\sin(2x)=\sin x\cos x \hspace{1 cm} \cos2x=\cos^2x-\sin^2x. \] Perciò \(f(x)\) diventa \[ f(x)=5\left(\frac{1}{2}\sin2x\right)+\cos2x-\frac{5}{2}\sin2x-\cos2x-17=17. \] Quindi \(f'(x)=0\). Lo […]
Quesito1 Siano dati nello spazio \( n\) punti \( P_1, P_2, P_3,…P_n\). Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? Soluzione Per determinare il numero dei segmenti va […]
Quesito4 Qual è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema 1 metro? Soluzione Si pone \(h=\overline{OV}=x\). Si ricava pertanto il raggio di base del cono \(r=\sqrt{1-x^2}\) con \(0 \le x \le 1\). Il volume del cono è dato da \[ \mathbb{V}(x)=\frac{1}{3}\pi(1-x^2)x \] che è massimo per \(x=\frac{1}{\sqrt{3}}\). In questo caso si ha: […]
Quesito3 . La posizione di una particella è data da \( s(t) = 20(2e^{-\frac{1}{2}+t-2})\). Qual è la sua accelerazione al tempo \( t=4\)? Soluzione La velocità, nella notazione di Leibiniz, è definita come \(v(t)=\frac{ds(t)}{dt}\) e quindi, \[ v(t)=20\cdot\left[2\cdot e^{-\frac{t}{2}}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1-0\right]=20\left(1-e^{-\frac{t}{2}}\right). \] L’accelerazione è a sua volta definita come \(a(t)=\frac{dv(t)}{dt}\), per cui si ottiene \[ a(t)=20\left[-e^{-\frac{t}{2}}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\right]=10e^{-\frac{t}{2}}. \] […]
Quesito 2 Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione \( f(x) \) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali. Soluzione Il termine \(asintoto\) indica una retta cui tende il grafico di una funzione quando \(x\to\infty\) oppure\(x \to c\). In particolare se per la funzione \(f(x)\) […]
Quesito1 Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore? \[\lim_{h \to 0}{\frac{5\left(\frac{1}{2}+h\right)^4-5\left(\frac{1}{2}\right)^4}{h}}\] Soluzione Il limite rappresenta il rapporto incrementale della funzione \(f(x)=5(\frac{1}{2}+x)^4\) in \(x_0=0\) o in alternativa della funzione \(g(x)=5x^4\) ma nel punto \(x_0=\frac{1}{2}\). \[ \lim_{h \to0}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\to0}{\frac{5}{h}\left[\left(\frac{1}{2}+h\right)^4-\left(\frac{1}{2}\right)^4\right]}. \] e sviluppando il binomio \[ \left(\frac{1}{2}+h\right)^4=\left(\frac{1}{2}\right)^4+4\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot h+6\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot h^2+\frac{1}{2}\cdot h^3 + h^4 \] si ottiene […]
Testo Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati l’arco di circonferenza di centro O e estremi A(3,0) e B(0,3) e l’arco L della parabola d’equazione \( x^2 = 9-6y \) i cui estremi sono il punto A e il punto (0,3/2). Sia \(r\) la retta tangente in A e L. Si calcoli […]
Testo Siano \( f \) e \( g \) le funzioni definite, per tutti gli x reali, da \[ f(x)\,=|{27x^3}| \text{ e $f$ } s(x)\,= \sin{\left(\frac{3}{2}\pi x\right)}\] Qual è il periodo della funzione \( g \) ? Si studino \( f \) e \( g \) e se ne disegnino i rispettivi grafici \( G_f […]